Questões do IME

Sejam a, b, c numeros reais maiores que 1. Considere a expressao S = (xy + yz + xz + 2(x + y + z) + 3) / ((x+1)(y+1)(z+1)) onde x = log_c(ab), y = log_b(ac), z = log_a(bc). Prove que o valor de S e um numero inteiro e calcule este valor.

Um reservatorio com 4 m x 5 m de base retangular contem 1000 L de agua. Duas trelicas iguais em planos paralelos verticais o sustentam na configuracao mostrada na figura (trelica com nos a cada 2 m horizontais e 2 m de altura), por meio de quatro apoios. No instante t = 0, a agua passa a entrar no reservatorio a uma vazao de 2 m^3/min.

Seja a reacao generica balanceada: A(g) + 2B(g) <=> C(s) + D(l) Considere que: as solubilidades das especies quimicas no liquido formado sao despreziveis; os gases se comportam idealmente; e as propriedades termodinamicas a 1,0 atm e 30 graus C sao as dadas abaixo. A(g): delta_Hf = -394 kJ/mol; delta_Gf = -394 kJ/mol B(g): delta_Hf = -47,0 kJ/mol; delta_Gf = -16,0 kJ/mol C(s): delta_Hf = -334 kJ/mol; delta_Gf = -197 kJ/mol D(l): delta_Hf = -286 kJ/mol; delta_Gf = -237 kJ/mol Determine para essa reacao: a) a expressao da constante de equilibrio com base nas concentracoes (KC); b) o valor da constante de equilibrio com base nas pressoes parciais (Kp), a 30 graus C e 1 atm; c) a variacao de entalpia a 30 graus C e 1 atm, estabelecendo se a reacao e exotermica ou endotermica; d) o valor da constante de equilibrio Kp, a 13 graus C e 1 atm, com base na equacao de Van't Hoff: ln(Kp1/Kp2) = -(delta_H/R) * (1/T1 - 1/T2)

: 0,25 Um pol�gono regular possui 2n v�rtices (n N, n > 1). Escolhem-se ao acaso 4 v�rtices do pol�gono, formando o quadril�tero ABCD. A probabilidade de ABCD ser um ret�ngulo � n n-1 n+2 2n n2 + 2n + 4 (E) 12 2n (A) 2 (B) 2n (C) 4 (D) 6 2 2n 2n 2n 4 4 4 4 4

Um poligono regular possui 2n vertices (n em N, n > 1). Escolhem-se ao acaso 4 vertices do poligono, formando o quadrilatero ABCD. A probabilidade de ABCD ser um retangulo e

Sejam P1 um tetraedro regular e P2 um prisma triangular reto. Ambos os poliedros possuem uma base comum, e a razao entre as areas totais de P2 e P1 e 2. Determine a razao entre os volumes de P2 e P1.

: 0,25 Considere um ponto P cujas coordenadas (x,y), x,y R, satisfazem o sistema 4 cossec()x - 6 cotg()y = 4 sen() 12 cossec()y - 8 cotg()x = 0 onde � um �ngulo em radianos diferente de k (k Z). O lugar geom�trico descrito pelos pontos P , conforme se varia o �ngulo , � um segmento de: (A) reta horizontal. (B) reta vertical. (C) reta inclinada. (D) elipse. (E) par�bola. 4

Estabeleca a relacao entre as estruturas de cada par abaixo, identificando-as como enantiomeros, diastereoisomeros, isomeros constitucionais ou representacoes diferentes de um mesmo composto. a) Par com estruturas biciclicas adamantano-like com grupos CH3 em posicoes espelhadas; b) Par trans-1,4-dicloroexano versus 1,4-dicloroexano representado em conformacao cadeira; c) Par de cicloexano com Cl e Br em posicoes axial/equatorial diferentes; d) Par de carbono quiral tetrassubstituido (C2H5, OH, H, CH3) em projecao cunha/tracejado (configuracao R e S); e) Par de ciclobutano com substituintes em posicoes diferentes (conformacao barca versus cadeira).

Seja a equacao (36x + 1)(27x + 3)(24x + 6)(18x + 3) = 189. Determine as suas raizes reais.

Considere um ponto P cujas coordenadas (x,y), x,y em R, satisfazem o sistema: 4*cossec(alpha)*x - 6*cotg(alpha)*y = 4*sen(alpha) e 12*cossec(alpha)*y - 8*cotg(alpha)*x = 0, onde alpha e um angulo em radianos diferente de k*pi (k em Z). O lugar geometrico descrito pelos pontos P, conforme se varia o angulo alpha, e um segmento de:

A figura ilustra um planeta esferico hipotetico de raio R e massa M uniformemente distribuida em seu volume. Um corpo de massa m pode ser movimentado por meio de motores. Na etapa A, o corpo descreve uma orbita circular de raio r2 em uma cavidade estreita no interior do planeta (r2 < R). Na etapa B, os motores sao acionados para transportar o corpo da orbita circular de raio r2 para a orbita circular de raio r3 (r3 > R), passando por uma passagem. Na etapa C, o corpo descreve uma orbita circular de raio r3.

Um aluno distraido desmontou um relogio. Ao remonta-lo, trocou a posicao dos ponteiros das horas e dos minutos, de modo que o ponteiro das horas passou a girar com a velocidade do ponteiro dos minutos, e vice-versa. Sabendo que o relogio foi acertado para as 4 horas, o intervalo que contem o horario t que marcara a hora certa novamente pela primeira vez e

: 0,25 Um aluno distra�do desmontou um rel�gio. Ao remont�-lo, trocou a posi��o dos ponteiros das horas e dos minutos, de modo que o ponteiro das horas passou a girar com a velocidade do ponteiro dos minutos, e vice-versa. Sabendo que o rel�gio foi acertado para as 4 horas, o intervalo que cont�m o hor�rio t que marcar� a hora certa novamente pela primeira vez � (A) 4h30min t < 5h (B) 5h t < 5h30min (C) 5h30min t < 6h (D) 6h t < 6h30min (E) 6h30min t < 7h10min

Um triangulo ABC possui incentro I e ex-incentro G relativo ao lado BC. Se angulo BIC + angulo AGC = 155 graus, entao o angulo ACB e

: 0,25 Um tri�ngulo ABC possui incentro I e ex-incentro G relativo ao lado BC. Se BIC + AGC = 155o, ent�o o �ngulo ACB � (A) 30o (B) 45o (C) 50o (D) 60o (E) 90o

Seja a equacao (144^x + 324^x) / (64^x + 729^x) = 6/7. A soma dos modulos das solucoes reais desta equacao e

: 0,25 (E) 9 Seja a equa��o 144x + 324x 6 =. 64x + 729x 7 A soma dos m�dulos das solu��es reais desta equa��o � (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 8

Se a equacao 2x^2 + cxy - 3x + 6y^2 - 4y - 2 = 0 representa no plano real duas retas concorrentes, entao o valor positivo do numero real c e

: 0,25 Se a equa��o 2x2+cxy-3x+6y2-4y-2 = 0 representa no plano real duas retas concorrentes, ent�o o valor positivo do n�mero real c � (A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9 (E) 10

: 0,25 Um n�mero natural � pal�ndromo quando � o mesmo lido da esquerda para a direita e vice-versa. Seja n um n�mero natural pal�ndromo tal que 1000 n 9999. Se n � um cubo perfeito, ent�o a soma dos algarismos de n � (A) 8 (B) 10 (C) 12 (D) 14 (E) 16 5  CONCURSO DE ADMISS�O AO CONCURSO DE FORMA��O E GRADUA��O QUEST�ES DE 16 A 30 F�SICA

Um numero natural e palindromo quando e o mesmo lido da esquerda para a direita e vice-versa. Seja n um numero natural palindromo tal que 1000 <= n <= 9999. Se n e um cubo perfeito, entao a soma dos algarismos de n e

Um cubo de arestas de comprimento L e fabricado a partir de uma chapa metalica fina de densidade superficial de massa S. O cubo encontra-se bem vedado e possui 20% de seu volume interior preenchido com oleo e o restante preenchido com ar. Em certo momento, o cubo e colocado dentro de um reservatorio de agua e permanece em equilibrio na posicao ilustrada na figura. Dados: massa especifica da agua: 1 g/cm3; massa especifica do oleo: 0,8 g/cm3. A relacao L/S, em cm3/g, e:

: 0,25 Um cubo de arestas de comprimento L � fabricado a partir de uma chapa met�lica fina de densi- dade superficial de massa S. O cubo encontra-se bem vedado e possui 20% de seu volume interior preenchido com �leo e o restante preenchido com ar. Em certo momento, o cubo � colocado dentro de um reservat�rio de �gua e permanece em equil�brio na posi��o ilustrada na figura. Dados: � massa espec�fica da �gua: 1 g/cm�; � massa espec�fica do �leo: 0,8 g/cm�. Observa��es: � a massa do ar no interior do cubo � desprez�vel; � a espessura da chapa � desprez�vel em rela��o ao comprimento L das arestas; � a unidade de L � cm; � a unidade de S � g/cm�. A rela��o L/S, em cm�/g, �: (A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9 (E) 10 6

: 0,25 Na figura mostra-se um tanque sendo alimentado por uma bomba d'�gua, um agitador e um sistema de aquecimento. Dados: � massa espec�fica da �gua: 1 g/cm�; � calor espec�fico da �gua: 1 cal/(g.�C); � vaz�o de �gua da bomba: 10 L/min; � 1 cal = 4,2 J. Observa��es: � n�o h� perdas de calor pelo tanque; � toda energia dissipada pela resist�ncia aquece a �gua; � o agitador mistura toda a �gua do tanque, mantendo-a numa mesma temperatura. A �gua do tanque e a fornecida pela bomba encontram-se a 20 �C. Em determinado instante, o tanque cont�m 220 L de �gua e a chave S do sistema de aquecimento � fechada. O tempo, em minutos, para que a �gua do tanque atinja 60 �C ser�: (A) 8 (B) 11 (C) 14 (D) 17 (E) 20 7