Questões do IME

Seis irmaos conversavam quando um deles, Matias, enunciou: a soma das idades de todos nos e cinco vezes a minha idade atual e sou seis anos mais novo que Sofocles. Quando Sofocles tiver tres vezes a minha idade atual, constataremos que: - a soma da minha idade com a de Damocles sera igual a soma da idade atual dos irmaos de Cesar; - a idade de Erastostenes sera tres vezes a idade dele atual; e - a idade do Lutero sera duas vezes a idade atual do Sofocles, mais um ano. Diante do exposto, qual e a soma das idades atuais de Sofocles e Matias?

Considere a reacao entre acetato de etila e hidroxido de sodio em meio aquoso como sendo irreversivel. Uma forma simples de estudar a cinetica dessa reacao e acompanhar, com o uso de um condutivimetro, a condutividade do meio reacional, dada pelo inverso da resistividade e geralmente denotada por Psi, em S.cm-1. Tal condutividade e relacionada, quantitativamente, a concentracao das especies ionicas, Na+, OH- e acetato, em solucao, cujas condutividades molares, em S.L.(cm.mol)-1, serao denotadas aqui, respectivamente, por lambda_N, lambda_0 e lambda_A. A condutividade de um meio e dada, portanto, pela soma dos produtos entre a concentracao de cada especie ionica e sua correspondente condutividade. Foi preparada uma mistura contendo, inicialmente, C0 mol.L-1 de hidroxido de sodio e acetato de etila em ligeiro excesso. Determine uma expressao para a concentracao do ion acetato em funcao de Psi, lambda_N, lambda_0, lambda_A e C0.

: 0,25 Seja o sistema 3x21 + 3x2 + 3x2 = 6x4 - 1 2 3 3x2 + 3x2 + 3x2 = 6x3 - 1 1 2 4 3x12 + 3x2 + 3x2 = 6x2 - 1 3 4 3x2 + 3x2 + 3x2 = 6x1 - 1 2 3 4 1111 O valor de + + + �: x1 x2 x3 x4 (A) 12 4 2 1 (E) 9 (B) (C) (D) 3 3 3

Seja o sistema: 3x1^2 + 3x2^2 + 3x3^2 = 6x4 - 1 3x1^2 + 3x2^2 + 3x4^2 = 6x3 - 1 3x1^2 + 3x3^2 + 3x4^2 = 6x2 - 1 3x2^2 + 3x3^2 + 3x4^2 = 6x1 - 1 O valor de 1/x1 + 1/x2 + 1/x3 + 1/x4 e:

: 0,25 Seja B o conjunto de todos os valores de x IR para os quais a soma dos termos da progress�o 4 16 64 256 - , , - , , ��� 3x 9x2 27x3 81x4 assume um valor finito. Define-se a fun��o f : B IR, para cada x B, tal que 4 16 64 256 f (x) = - + - + - � � � 3x 9x2 27x3 81x4 A soma das ra�zes da equa��o f (x) = -x, x B, �: (A) 0 (B) -2 (C) -4/3 (D) 2/3 (E) 4/3 2

Seja B o conjunto de todos os valores de x em IR para os quais a soma dos termos da progressao -4/(3x), 16/(9x^2), -64/(27x^3), 256/(81x^4), ... assume um valor finito. Define-se a funcao f : B -> IR, para cada x em B, tal que f(x) = -4/(3x) + 16/(9x^2) - 64/(27x^3) + 256/(81x^4) - ... A soma das raizes da equacao f(x) = -x, x em B, e:

Suponha que a e b sao raizes reais e diferentes da equacao 4x^2 - 4tx - 1 = 0 (t em R). O intervalo [a, b] e o dominio da funcao f(x) = (2x - t) / (x^2 + 1). Seja g(t) = max f(x) - min f(x). Determine g(0).

Uma celula eletrolitica dotada de eletrodos de platina e preenchida com 1 L de uma solucao 4 M de NaCl puro em agua bidestilada. Em seguida, faz-se percorrer pela mesma, por 5 horas, 21 minutos e 40 segundos, uma corrente de 5 A, ocorrendo desprendimento de cloro e hidrogenio. Decorrido o tempo mencionado, a corrente e desligada e a solucao remanescente e evaporada, obtendo-se um residuo solido. Calcule a massa do residuo obtido.

Em um triangulo de vertices A(0, 0), B(2, 4) e C(6, 0), toma-se um ponto variavel M sobre o lado AB. Desse ponto, traca-se a perpendicular ao lado AC que intercepta em Q. Identifique o lugar geometrico descrito pelo ponto de intersecao das retas BQ e CM e escreva a sua equacao.

Sob determinadas condicoes, a agua pode ser super-resfriada, ou seja, permanecer no estado liquido em temperaturas inferiores ao seu ponto de congelamento, em uma situacao termodinamicamente instavel. Considere um processo em que 5,0 mol de agua super-resfriada a -10 graus C e 1,0 atm sejam convertidos em gelo a mesma temperatura. Determine a variacao de entropia: a) do sistema; b) na vizinhanca; e c) do universo.

: 0,25 Considere o conjunto de todas as retas que s�o secantes ao gr�fico da fun��o 7 3x-1 f (x) = ln - + x - x2 12 11 e que passam pelo ponto , f . 33 O menor valor dentre os coeficientes angulares das retas desse conjunto �: (A) -3 ln(3) (B) 1 ln 1 (C) 3 ln 13 (D) 0 (E) 1 2 3 36 2

Considere o conjunto de todas as retas que sao secantes ao grafico da funcao f(x) = ln(|-7/12 + x - x^2|^(3x-1)) e que passam pelo ponto (1/3, f(1/3)). O menor valor dentre os coeficientes angulares das retas desse conjunto e:

: 0,25 Quantos pares ordenados (x, y) de n�meros inteiros satisfazem a equa��o 1/x + 1/y = 1/23 ? (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5

Quantos pares ordenados (x, y) de numeros inteiros satisfazem a equacao 1/x + 1/y = 1/23?

Seja um tetraedro regular ABCD de aresta a e o ponto Q medio de AB. O ponto P sobre a aresta AB, entre Q e A, e projetado nas arestas AC e AD, sobre os pontos M e M', respectivamente, e tambem nas arestas BC e BD, sobre os pontos N e N', respectivamente. O plano MM'NN' divide o tetraedro em dois volumes com razao de 1 para 4. Determine QP em funcao de a.

Os elementos do 2o e 3o periodos da tabela periodica apresentam desvios da tendencia em suas curvas da energia de ionizacao em funcao do numero atomico. Com relacao a esses elementos: a) esboce qualitativamente o grafico da energia de ionizacao em funcao do numero atomico; e b) explique esses desvios de forma sucinta, baseado na estrutura eletronica e no preenchimento dos orbitais atomicos.

Considere o sistema a seguir: 3x + 2y - z = ky (1 - k)x - y + 4z = 0 2x + y - kz = z Determine o menor valor da constante real k que torna o sistema indeterminado. Para esse valor de k, encontre a solucao x, y, z do sistema acima que minimiza o valor de (x - z)^2 + e^(x+y) - 4|x| - 2y.

Seja alfa em IR e z1, z2, z3 numeros complexos tais que |z1| = |z2| = |z3| = 4 e z1 diferente de z2. O menor valor de |alfa*z1 - (alfa - 1)*z2 - z3| e:

: 0,25 Seja IR e z1, z2, z3 n�meros complexos tais que |z1| = |z2| = |z3| = 4 e z1 = z2. O menor valor de |z1 - ( - 1)z2 - z3|, �: 1 (A) 8|z1 + z2| 1 (B) 4|z1 - z2| 1 (C) 8|z3 - z1||z3 - z2| 1 (D) 4|z1 - z2 - z3| (E) |z3|

Suponha um solido metalico formado por um unico elemento que apresenta uma estrutura de empacotamento cubica de corpo centrado a pressao atmosferica. Ao ser comprimido, esse solido adota uma estrutura cubica de face centrada. Considerando os atomos como esferas rigidas, calcule a razao entre as densidades do solido antes e depois da compressao.