Questões do IME

Considere os conjuntos de numeros complexos: A = {x+iy tal que x,y em R e |x|+|y| <= r} e B = {x+iy tal que x,y em R e max{|x-a|,|y-b|} <= c}, onde r, a, b e c sao reais positivos. O menor valor de r, em funcao de a, b e c, para que B esteja contido em A e

Uma solucao de Na2SO4 com concentracao 1,0 x 10^-3 mol/L contem, como tracador, o radioisotopo 35-16-S, cujo tempo de meia vida e igual a 88 dias. Uma amostra de 10 mL dessa solucao produz 4,0 x 10^4 contagens por minuto em um detector de radiacao. Um volume igual de solucao de Pb(NO3)2 com concentracao 2,0 x 10^-4 mol/L e adicionado a solucao de Na2SO4, ocasionando precipitacao de PbSO4. Calcule o numero de contagens por minuto para uma aliquota de 10 mL retirada da solucao apos a precipitacao. Dado: KPS(PbSO4) = 1,3 x 10^-8

Sejam os numeros complexos z_1, z_2, ..., z_n tais que suas partes reais e imaginarias formam, respectivamente, uma progressao aritmetica e uma progressao geometrica crescentes de numeros reais e de mesma razao. Sabe-se que z_1 = 2 + 5i e z_4 = m(i^(4m) + 5i^(4m+1)) onde m pertence a Z*+ e i^2 = -1. Considere S_n = (1/5) * sum(z_k, k=1 a n) e A_n = (2/5) * sum(k, k=1 a n). Calcule o valor de P = (S_n - A_n)/i + 1 em funcao de n.

Uma corda de massa m uniformemente distribuida pelo seu comprimento L e mantida fixa em uma das extremidades e gira horizontalmente a velocidade angular omega. A extremidade solta da corda percorre um circulo de raio L. Um pulso de onda transversal se propaga a partir da extremidade solta, e sua posicao e indicada por x, medida a partir do extremo fixo.

: 0,25 A equa��o arctg(z) + arctg(z + 1) = arctg 4 , em que arctg(x) � o arco tangente de x, apresenta: 3 (A) duas solu��es reais sendo uma positiva e outra negativa. (B) duas solu��es reais positivas. (C) duas solu��es reais negativas. (D) uma �nica solu��o real, sendo esta positiva. (E) uma �nica solu��o real, sendo esta negativa.

A equacao arctg(z) + arctg(z+1) = arctg(4/3), em que arctg(x) e o arco tangente de x, apresenta:

Dez numeros reais formam uma progressao geometrica (PG) com razao q > 1. Removem-se ao acaso cinco desses numeros. A probabilidade de que os cinco numeros restantes estejam em PG e

Em uma experiencia de campo, uma fonte sonora e deixada cair de um helicoptero a velocidade inicial nula. Um observador situado a uma distancia desprezivel do ponto de impacto no solo usa um instrumento para registrar a frequencia da onda emitida pela fonte. Antes de a fonte atingir o solo, a frequencia medida aumenta a principio, mas depois se torna constante dentro do limite de precisao do instrumento. A forca de arrasto que o ar exerce sobre a fonte sonora e dada por F = cv^2, no sentido oposto ao do movimento, em que c e uma constante a ser calculada e v e a velocidade escalar instantanea da fonte.

Um combustivel formado por uma mistura equimolar de n-propano e 2-metil-propano alimenta a fornalha de uma usina termeletrica, na qual ocorre sua combustao total na presenca de ar. Um sensor posicionado na chamine dessa fornalha detecta a presenca de 3% em mol de oxigenio nos gases de exaustao. Calcule a razao ar/combustivel, em proporcao massica, para uma alimentacao de 1000 mol/s desse combustivel, com a fornalha operando sob essa condicao. Dado: composicao molar do ar atmosferico: 79% de N2 e 21% de O2.

: 0,25 Dez n�meros reais formam uma progress�o geom�trica (PG) com raz�o q > 1. Removem-se ao acaso cinco desses n�meros. A probabilidade de que os cinco n�meros restantes estejam em PG � 1 1 3 2 3 (A) (B) (C) (D) (E) 252 126 126 63 63

As raizes da equacao 4x^3 - 40x^2 + 129x - 135 = 0 sao os comprimentos dos lados de um triangulo em metros. Determine a area deste triangulo.

Dado um dodecaedro regular, escolhem-se 3 vertices ao acaso. Calcule a probabilidade dos 3 vertices escolhidos pertencerem a uma mesma face.

A glicose tem dois estereoisomeros, alfa e beta, que se distinguem pela atividade optica. A forma alfa tem poder rotatorio especifico de 112 graus e a beta de 18,7 graus. A conversao de uma forma para outra se da segundo uma reacao de primeira ordem reversivel: C6H12O6(alfa) <=> C6H12O6(beta) Realiza-se, entao, uma experiencia, na qual um feixe de luz polarizada atravessa um tubo contendo uma solucao de glicose. Observa-se a modificacao do desvio angular do plano de polarizacao como mostrado na tabela abaixo: Tempo (min): 0, 10, 100, infinito Angulo de rotacao (graus): 112,00, 102,67, 65,35, 56,02 Sabe-se que o desvio angular da luz polarizada e funcao linear da conversao do estereoisomero alfa e que a soma das constantes de reacao direta e reversa e 0,015 min^-1. Determine: a) a conversao especifica no instante t = 10 min; b) as constantes de velocidade da reacao direta e da reacao reversa; c) a taxa especifica de reacao no instante t = 100 min; d) a taxa especifica de reacao no equilibrio.

A figura mostra dois caminhos 1 e 2. As partes iniciais de ambos sao horizontais e lisas, sendo que, nos dois casos, os blocos A e B partem a mesma velocidade de uma mesma posicao de referencia. No instante t1, o bloco A comeca a subir uma rampa lisa (base 4 m, altura 3 m), lancando-se ao final da mesma. Nesse mesmo instante t1, o bloco B passa a percorrer um trecho rugoso de comprimento igual ao da base da rampa. Imediatamente apos o lancamento do bloco A da rampa, as velocidades horizontais dos blocos sao as mesmas e o bloco B ja passou o trecho rugoso.

Seja um tetraedro de vertices A, B, C e D. Sao dados os angulos em radianos: ADB = pi/3 e CDB = ADC = pi/2, e os comprimentos das arestas em centimetros CD = 3 e AD = BD = 4. A distancia em centimetros do ponto D ao plano ABC e

: 0,25 Seja um tetraedro de v�rtices A, B, C e D. S�o dados os �ngulos em radianos: ADB = e CDB = ADC = 3 2 e os comprimentos das arestas em cent�metros CD = 3 e AD = BD = 4 . A dist�ncia em cent�metros do ponto D ao plano ABC � 6 (B) 3 (D) 4 (E) 5 (A) 7 (C) 2 3 7 3

A soma dos inversos das solucoes inteiras da equacao determinante([[x,2,3],[2,x,3],[2,3,x]]) = 0 e

Um grupo de pesquisadores decide aproveitar a disponibilidade de uma nascente de agua quente natural. A agua quente e resfriada, sendo que a taxa de calor deste resfriamento e empregada para acionar um motor termico A, que opera em um ciclo termodinamico. A potencia disponibilizada pelo motor termico A e utilizada para operar um ciclo de refrigeracao. Um tecnico experiente afirma que e possivel aproveitar uma bomba B em estoque (faixa de operacao: 6 kg/min +/-20%) para transportar a agua da nascente para o laboratorio.

Seja um triangulo acutangulo IME conforme a figura tal que IH = IO, onde H e O sao respectivamente seus ortocentro e circuncentro, interiores ao triangulo e nao pertencentes aos lados. Calcule o angulo HEO, sabendo que os angulos EIH = 2*HIO. (A figura mostra o triangulo IME com o vertice I no topo, H e O no interior, e E na base esquerda, M na base direita.)

Considere a energia potencial de ligacao. Pode-se imaginar um modelo em que a energia de ligacao entre as especies seja considerada a propria energia potencial eletrostatica. a) Esboce, em um unico grafico de energia potencial de ligacao versus distancia internuclear, as curvas para uma ligacao quimica interatomica (covalente ou ionica) e para uma interacao intermolecular. b) Indique o fator crucial que determina a diferenca entre as curvas.

: 0,25 A soma dos inversos das solu��es inteiras da equa��o 19 x23 (E) 2 x 3 =0 23x 30 � 19 (C) -15 (D) 15 Valor: 0,25 (B) - (A) 0 30 8� QUEST�O Seja f : R - R definida como f (x) = log(x + x2 + 1). Ent�o: (A) f (x) � uma fun��o par. (B) f (x) � uma fun��o �mpar. (C) f (2x) > f (x) para todo x = 0. (D) f (x) tem duas ra�zes reais. (E) f (x) n�o tem raiz real.

Seja f : R -> R definida como f(x) = log(x + sqrt(x^2 + 1)). Entao:

A Figura 1 mostra um circuito magnetico formado por um material ferromagnetico de secao reta retangular 2 cm x 20 cm, uma bobina primaria com 1000 espiras e uma bobina secundaria com 200 espiras. A variacao do modulo da densidade de fluxo magnetico (B), em funcao da forca magnetomotriz (Fmm), e mostrada na Figura 2 (grafico linear de 0 a 40 T para Fmm de 0 a 2000 A.esp). O modulo do fluxo magnetico Phi(t) e constante ao longo do material ferromagnetico. A corrente i(t), mostrada na Figura 3, e aplicada a bobina primaria: i cresce linearmente de 0 a 3 A no intervalo t = 0 a t = 3 s, de 3 A cai linearmente para -3 A no intervalo t = 3 s a t = 7 s, e de -3 A volta linearmente para 0 A no intervalo t = 7 s a t = 8 s.

Sejam a, b, c numeros reais maiores que 1. Considere a expressao S = (xy + yz + xz + 2(x + y + z) + 3) / ((x+1)(y+1)(z+1)) onde x = log_c(ab), y = log_b(ac), z = log_a(bc). Prove que o valor de S e um numero inteiro e calcule este valor.