Questões do IME

A figura ilustra dois recipientes cilindricos comunicantes. O primeiro recipiente possui secao reta circular de 3 cm de raio e esta inicialmente fechado por uma tampa de vidro plana perfeitamente apoiada em sua face superior. Um liquido incompressivel de massa especifica rho e lentamente despejado no segundo recipiente, fazendo-se variar a posicao vertical de uma boia de massa e volume desprezaveis que flutua sobre a superficie do liquido. A boia esta afixada a um cursor metalico de resistencia nula que faz contato com uma barra resistiva homogenea, posicionada na vertical, cuja resistencia total e de 10 ohm e cujo comprimento total e de 50 cm. Sabendo que, no instante em que o liquido comeca a vazar por baixo da tampa apoiada, a tensao u indicada na figura e +9 V, determine numericamente o valor de rho.

Numeros palindromos na base b sao numeros cuja representacao nesta base e simetrica, ou seja, se os seus algarismos forem lidos de tras para frente obtem-se o mesmo numero. A quantidade de numeros naturais positivos menores ou iguais a (377)_8 que sao palindromos na base dois e: [Observacao: Considere que todo numero nao nulo na base 2 comeca por 1.]

A pilha de litio-iodo foi desenvolvida para uso em marca-passos, com durabilidade de cerca de 10 anos e nao liberando gases toxicos ao paciente. Sua estrutura hermeticamente fechada consiste em iodo aglomerado em polimero envolto pelo litio, sendo o conjunto blindado em aco inoxidavel. Potenciais-padrao de reducao com base no eletrodo padrao de hidrogenio: Ions O2,H+|H2O2 (E0 = +0,68 V); I2|I- (E0 = +0,54 V); O2,H2O|OH- (E0 = +0,40 V); Li+|Li (E0 = -3,04 V); H+,H2O2|H2O (E0 = +1,78 V). Considerando as condicoes padrao, determine: a) as semirreacoes e a reacao global da pilha; b) a diferenca de potencial (ddp) maxima da celula eletroquimica; c) a variacao maxima da energia de Gibbs; d) a variacao da energia de Gibbs e ddp minimas para uma possivel recarga total da pilha.

Dado P(x) = cossec^2(alpha) * x^2 - cotg(alpha) * x + cos(alpha). Para que valores de alpha, no intervalo (0, pi), as raizes de P(x) sao reais?

Seja f : [3, +inf) -> B a funcao definida por f(x) = 1 + sum_{n=1}^{+inf} ((x-1-2^n)/(x-1)), onde B = {f(a) | a in [3, +inf)}. A soma das coordenadas do ponto pertencente ao grafico da funcao inversa de f(x) mais proximo do eixo das abscissas e:

Em um julgamento, tendo em vista o grande numero de pessoas acusadas, o juiz criou dois dispositivos distintos para limitar o tempo de sustentacao oral, um para o defensor, e outro para o acusador. Para medir esses tempos, preparou dispositivos quimicos distintos e isolados, nos quais uma solucao de HCl com concentracao igual a 0,1 mol.L-1 e gotejada. O dispositivo do defensor consiste em um recipiente contendo 1 litro de solucao aquosa contendo 795 mg de carbonato de sodio e o do acusador um recipiente contendo 1 litro de solucao aquosa contendo 840 mg de bicarbonato de sodio. Utilizando tracos de indicador com viragem em pH neutro, ajustou a dosagem das gotas para 20 gotas por minuto, iniciando junto com a sustentacao oral do defensor, e 40 gotas por minuto, iniciando junto com a sustentacao oral do acusador. As falas serao interrompidas no momento da viragem do indicador. Calcule os tempos de viragem do indicador para a defesa e para a acusacao, considerando que cada gota de solucao de HCl contem 0,05 mL.

Vapor d'agua pode ser utilizado para movimentar uma turbina, a qual aciona um gerador que produz energia eletrica. Para tal objetivo, pretende-se aquecer e ferver uma amostra de agua pura, fazendo-se uso de um aquecedor eletrico acondicionado em um recipiente isolado do ambiente. A potencia gerada esta descrita na figura (1000 W de t = 0 a t = 178 s, decrescendo linearmente ate zero em t = 278 s). Em funcao dos dados acima, determine: a) a energia necessaria para que a amostra de agua comece a ferver; b) o tempo necessario para que a amostra de agua comece a ferver; c) a massa de agua que podera ser fervida no processo.

A equacao x^3 - alpha*x + beta = 0, onde alpha e beta sao constantes reais, admite raiz nao real de modulo gamma. Determine alpha em funcao de beta e gamma.

Uma lente convergente esta posicionada num plano horizontal e possui, presa a seu centro, um pendulo composto por um fio ideal e uma particula de massa m. O movimento da particula provoca uma oscilacao na posicao de sua imagem gerada pela lente. A partir dos dados acima, determine os valores aproximados para: a) o comprimento do fio; b) o periodo de oscilacao do pendulo; c) a maxima energia cinetica atingida pela particula.

Considere a sequencia de numeros complexos z_1 = (1+i), z_2 = (1+i)^2, ..., z_20 = (1+i)^20, onde i^2 = -1. A maior area possivel do triangulo formado pelos afixos de tres numeros consecutivos dessa sequencia e:

Ha tres casas numeradas pelos numeros naturais k, m e n, onde 0 < k < m < n. Tres pessoas A, B e C as alugam por temporada com ocupacao por sorteio. A cada sorteio cada pessoa recebe um valor em reais correspondente ao numero da casa a si alocada. Depois do ultimo sorteio A, B e C tem, acumulado, respectivamente, 10, 9 e 14 reais. Sabe-se que foram realizados pelo menos 2 sorteios e que no ultimo deles B recebeu n reais. Quais sao os numeros das casas?

Dois compostos distintos, A e B, ambos com formula molecular C4H8, geram resultado positivo para o teste com agua de bromo. A reacao de A com HBr na ausencia de peroxido gera uma mistura racemica e, na presenca de peroxido, gera majoritariamente o produto X. O composto B, por sua vez, ao reagir com HBr na ausencia de peroxido gera majoritariamente o produto Y e, na presenca do peroxido, o produto Z. Apresente as estruturas moleculares dos compostos A, B, X, Y e Z, sabendo que os mesmos sao opticamente inativos e que possuem estruturas moleculares distintas.

Ao analisar um ciclo de refrigeracao em funcionamento, um inventor propoe o aproveitamento do calor rejeitado para a fonte quente atraves do seguinte esquema: um motor termico operando em ciclo termodinamico e acoplado em serie ao ciclo original, conforme esboco da figura, produzindo trabalho e rejeitando calor para um reservatorio termico adicional. O inventor argumenta que, sob condicoes de maximo desempenho do ciclo motor: (1) a potencia gerada e de 2 HP; (2) a taxa de transferencia de calor para o reservatorio termico adicional e capaz de prover energia equivalente para acender 200 lampadas de 50 W de potencia cada. Baseado em uma analise termodinamica e nos dados listados: a) argumente, justificando, sobre a acuracia das duas proposicoes do inventor; b) avalie a temperatura da fonte fria do ciclo de refrigeracao, em graus C.

Seja a equacao x^2 - px + q = 0, na variavel x, com raizes a e b. Entao o valor de a^4 + b^4 e:

Determine as raizes complexas da equacao abaixo, onde i^2 = -1. [ (x^2 + ((1 + i*sqrt(3))/2)*x + 1) / (x + 1) ] * [ (x^2 + ((1 - i*sqrt(3))/2)*x - 1) / (x - 1) ] = 16 / (x^2 - 1)^2

O acido ascorbico tem formula molecular C6H8O6 e parte de suas ligacoes quimicas estao representadas na figura da prova (estrutura parcial com hidrogenios assinalados por 1 e 2). a) Apresente a estrutura de Lewis do acido ascorbico. b) Com base na estrutura eletronica, qual e o hidrogenio mais acido dentre os hidrogenios assinalados por 1 e 2? Justifique.

A figura mostra um esquema contendo um par de fios infinitos dobrados com angulos retos e duas particulas. Uma mola comprimida impulsiona a particula maior ate que se choque de forma perfeitamente inelastica com a outra particula menor, carregada eletricamente e inicialmente em repouso. A partir dos dados acima, no instante imediatamente apos o choque, determine: a) o vetor velocidade das particulas; b) o vetor campo magnetico produzido pelo conjunto dos dois fios na posicao do choque; c) o vetor forca magnetica que age sobre as particulas unidas; d) o raio de giracao do movimento das particulas unidas.

Sejam alpha, beta e gamma as raizes da equacao x^3 + 6x^2 - 6x - 3 = 0. O valor de (alpha+beta)(alpha+gamma)(beta+gamma) e:

Prove que o volume de um prisma triangular e igual ao semiproduto da area de uma face lateral pela distancia desta face a sua aresta oposta.

De modo a estimar o peso atomico de um elemento X, um cientista do seculo XIX escolheu um procedimento criativo. Ele preparou 4 compostos A, B, C e D contendo o elemento quimico X, em proporcoes massicas conforme tabela abaixo. Na sequencia, transferiu-os, individualmente, para frascos identicos, previamente evacuados, ate que todos atingissem 1 atm de pressao, na temperatura de 525 K, na qual sabia que todos os compostos se comportariam como gases ideais. O cientista repetiu o experimento com nitrogenio, e pesou, entao, todos os frascos, mantendo as condicoes de temperatura e pressao, montando a seguinte tabela: Gas N2 (% X = 0,0; massa = 2,8 g); A (% X = 97,3; massa = 3,65 g); B (% X = 83,5; massa = 8,5 g); C (% X = 89,1; massa = 11,95 g); D (% X = 92,2; massa = 15,4 g). Com base nestas informacoes, identifique o elemento quimico X.

Considere a matriz quadrada A de ordem 2024, onde a estrutura e: primeira linha [2,0,1,2,3,...,2022], e as linhas seguintes tem x na posicao da diagonal principal e os valores j nas outras posicoes (exceto a_{i,1}=2 para todo i). A soma das raizes do polinomio dado por p(x) = det(A), x em R, e: [A matriz tem estrutura especial exibida no PDF com x na diagonal e valores coluna nas demais posicoes.]

O Iodo-131 (131I) e um isotopo radioativo emissor de eletrons que pode ser utilizado na medicina nuclear para procedimentos analiticos, sendo sua constante de decaimento 1,003x10^-6 s^-1. Calcule o numero de dias para que uma amostra inicial de 131I com massa de 8,22x10^-13 g nao seja detectada por um contador Geiger, que possui um limite minimo de deteccao de 10^-4 muCi.

Considere um corpo descrevendo uma orbita circular de raio r e velocidade v, resultando num periodo T, em torno da Terra. Quando o corpo se move para uma orbita circular de raio r + delta_r, sendo delta_r << r, seu novo periodo de orbita passa a ser T + delta_T e sua nova velocidade orbital se torna v + delta_v. Determine o valor aproximado: a) de delta_T em funcao de delta_r e v; b) de delta_v em funcao de delta_r e T; c) da energia potencial gravitacional em funcao de delta_r, r, G, m e M.

Sejam as matrizes A e B abaixo: A = [[1, sen(4x + pi/8), 3], [sen(4x + pi/8), 1, 1], [-2, -1, 1]] B = [[-1/2, 3, -2], [2, -1/2, sen(4x - pi/8)], [1/2, sen(4x - pi/8), -1/2]] Determine os valores de x pertencentes ao intervalo [0, 2*pi] tais que det(2AB + A - 2B - I) = 0.