Ano 2022#conicas#retas concorrentes#algebra

Sobre o tema

Uma equação geral do segundo grau nas variáveis x e y, da forma Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0, representa uma cônica no plano. Dependendo dos coeficientes, ela pode descrever elipses, parábolas, hipérboles ou casos degenerados, como um par de retas (concorrentes, paralelas ou coincidentes) ou um ponto. Para que a equação represente duas retas concorrentes (que se intersectam em um único ponto), o determinante da matriz cônica 3x3 deve ser nulo, e o discriminante da parte quadrática (B² - 4AC) deve ser positivo. Nesta questão do IME, a equação 2x² + cxy - 3x + 6y² - 4y - 2 = 0 é dada e afirma-se que representa duas retas concorrentes. O objetivo é determinar o valor positivo do coeficiente c. A resolução envolve calcular o determinante e impor a condição de degenerescência.

Tópicos relacionados

  • Cônicas degeneradas
  • Equação geral do 2º grau
  • Condição para par de retas
  • Determinante da matriz cônica
  • Discriminante da forma quadrática

Enunciado

Se a equacao 2x^2 + cxy - 3x + 6y^2 - 4y - 2 = 0 representa no plano real duas retas concorrentes, entao o valor positivo do numero real c e

Alternativas

  • A)

    6

  • B)

    7

  • C)

    8

  • D)

    9

  • E)

    10

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Perguntas frequentes

O que é uma cônica degenerada?

Uma cônica degenerada é um caso particular onde a equação geral do segundo grau não representa uma curva suave, mas sim um conjunto mais simples, como um par de retas, uma reta dupla, um ponto ou o conjunto vazio.

Qual a condição para que uma equação do 2º grau represente duas retas concorrentes?

A condição é que o determinante da matriz cônica 3x3 seja zero (degenerescência) e que o discriminante B² - 4AC da parte quadrática seja positivo, garantindo que as retas sejam reais e distintas e se intersectem.

Como calcular o determinante da matriz cônica?

A matriz cônica é simétrica de ordem 3: [[A, B/2, D/2], [B/2, C, E/2], [D/2, E/2, F]]. O determinante é calculado pela regra de Sarrus ou por expansão de Laplace.

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