Questões do IME

: 0,25 Uma matriz quadrada M � dita ortogonal se M � M T = I, em que I � a matriz identidade. O conjunto solu��o S contendo os valores de a, b e c para que a matriz 001 0 3 a 0 0 2 b 1 2b 0 4 c 0 0 3 2 2 seja ortogonal �: 1 3 (A) S ={a = 2 ; b = - 2 ; c = 1} 1 3 (B) S = {a = 2 ; b = 2 ; c = 1} 1 3 (C) S = {a = 2 ; b = 2 ; c = -1} 1 3 (D) S = {a = - 2 ; b = 2 ; c = -1} (E) S =

Joao nasceu no ano n e esta prestando vestibular para o IME em 2023. Sejam A, B e C conjuntos de inteiros positivos tais que |A| = |B| + 4. Sabe-se que ha n funcoes estritamente crescentes de A para C, bem como de B para C. Observacoes: |S| representa o numero de elementos do conjunto S; uma funcao e estritamente crescente quando x1 < x2 implica f(x1) < f(x2). Diante do exposto, determine: a) o numero de funcoes f estritamente crescentes de A para C em funcao de |A| e |C|; b) o ano no qual Joao nasceu.

Duas esferas condutoras A e B, inicialmente isoladas, com cargas positivas Q_A e Q_B e raios R_A e R_B, sao ligadas por meio de um fio condutor ideal e longo. Depois do sistema entrar em equilibrio eletrostatico, outro fio condutor, com pequena resistencia eletrica, e conectado a esfera B no instante t = t_0 e o sistema e aterrado. Durante o periodo em que o sistema permanece aterrado, circula pelo fio condutor de aterramento a corrente i(t) variante com o tempo mostrada no grafico. Em t = t_1, o fio de aterramento e desconectado e, depois do sistema entrar novamente em equilibrio eletrostatico, o fio condutor que conecta as duas esferas e retirado.

Os principais poluentes nitrogenados do ar sao o oxido nitrico e o dioxido de nitrogenio. O primeiro e produzido durante tempestades de raios e no interior de motores a combustao. Em altas temperaturas, o oxido nitrico reage com hidrogenio formando oxido nitroso, um dos gases causadores do efeito estufa, alem de agua. De modo a estudar a cinetica desta reacao a 820 oC, a taxa de formacao inicial de oxido nitroso foi medida, partindo-se de misturas com diferentes pressoes parciais de oxido nitrico e gas hidrogenio, conforme tabela abaixo: Experimento 1: P(NO)=16000 Pa, P(H2)=8000 Pa, taxa=12 Pa.s^-1; Experimento 2: P(NO)=8000 Pa, P(H2)=8000 Pa, taxa=3 Pa.s^-1; Experimento 3: P(NO)=8000 Pa, P(H2)=24000 Pa, taxa=9 Pa.s^-1. Determine se a reacao e elementar.

Dado um plano pi e uma reta r nele contida, sejam A e B pertencentes a pi dois pontos em um mesmo semiplano definido por r. O ponto A' e o simetrico a A em relacao a reta r. Os segmentos de reta AA' e A'B interceptam a reta r nos pontos C e M, respectivamente. Se N e um ponto da reta r distinto de M, prove que AM + MB < AN + NB.

Uma solucao de 222 g de cloreto de calcio e 342 g de sacarose em 2 L de agua destilada apresenta pressao osmotica identica a de uma solucao de ureia em igual volume de agua destilada, de concentracao 3 mol/L, estando ambas diluidas e nas mesmas condicoes de temperatura e pressao. Com relacao as informacoes apresentadas: a) calcule a temperatura de ebulicao da primeira solucao; b) determine o grau de dissociacao do cloreto de calcio.

O guindaste da figura e montado com o auxilio da barra vertical BD, das barras horizontais AB e BC e das barras inclinadas AD e CD. O apoio A resiste a forcas horizontais e verticais, enquanto o apoio B resiste apenas as forcas verticais. Sabe-se que a reacao normal no apoio B e 60 kN de baixo para cima e que sao aplicadas forcas externas indicadas nos pontos C e D.

: 0,25 Seja uma matriz com 100 linhas e 100 colunas. O elemento da linha i e coluna j � denotado por ai,j. Os elementos da matriz formam uma progress�o aritm�tica (PA) de raz�o 5. O primeiro termo da progress�o � o elemento a1,1 e tem seu valor igual a 10. Para formar essa PA, percorrem-se os elementos de uma mesma linha e conclu�da uma linha, passa-se para a pr�xima. Se n � o tra�o da matriz, a soma dos algarismos de n �: (A) 10 (B) 19 (C) 23 (D) 28 (E) 32 3

Seja uma matriz com 100 linhas e 100 colunas. O elemento da linha i e coluna j e denotado por a_{i,j}. Os elementos da matriz formam uma progressao aritmetica (PA) de razao 5. O primeiro termo da progressao e o elemento a_{1,1} e tem seu valor igual a 10. Para formar essa PA, percorrem-se os elementos de uma mesma linha e concluida uma linha, passa-se para a proxima. Se n e o traco da matriz, a soma dos algarismos de n e:

Uma fibra otica tem uma secao transversal de espessura a e possui o formato mostrado nas figuras, onde a curva externa beta e um arco de 1/4 de circunferencia de raio R e a curva interna alfa e um arco de 1/4 de circunferencia de raio R-a. Considere duas situacoes: na situacao da Figura 1, um raio de luz entra na fibra tangenciando a curva alfa; na situacao da Figura 2, um raio de luz entra na fibra tangenciando a curva beta por dentro.

Dada a equacao abaixo onde o valor de alpha e um numero real: (alpha * cos(x)) / (2*cos(2x) - 1) = (alpha + sen(x)) / ((cos^2(x) - 3*sen^2(x)) * tg(x)). Determine: a) os valores de alpha para os quais a equacao admite solucao; b) as solucoes, em radianos, da equacao em funcao de alpha.

Produz-se NH3(g) reagindo H2(g) com N2(g). A reacao ocorre em uma temperatura T, 113 oC maior do que a temperatura em que a mesma deixa de ser espontanea. Considere os dados termodinamicos abaixo e que os mesmos nao variam com a temperatura e com a pressao. N2(g): S=192,0 J/(mol.K); H2(g): S=131,0 J/(mol.K); NH3(g): S=192,5 J/(mol.K), DeltaHf=-46000 J/mol. A partir dos dados do enunciado, pede-se: a) calcular o valor de DeltaGr(T); b) determinar se a constante de equilibrio da reacao de producao da amonia e Keq>1, Keq=0 ou Keq<1; c) justificar em qual pressao, P=1 atm ou P=200 atm, havera maior producao de NH3(g) no equilibrio.

: 0,25 O intervalo que cont�m os valores de x tais que Valor: 0,25 1 x2 2 (E) 1001 0,09(4+x) 0,3 < x2 - (x + 1)(x - 1) �: (A) (-, 4) (8, ) (B) (-2, 4) (C) (4, 8) (D) (-, ) (E) (-, -2) (4, ) 9� QUEST�O Seja i tal que i2 = -1. Seja A dado pela equa��o: 1000 n + 1 (-1)n-1 n+2 A= (i)2n-2ln n=1 0 valor de e-A �: (A) 250 (B) 500 (C) 501 (D) 1000

O intervalo que contem os valores de x tais que [0,09^(4+x) * (1/sqrt(0,3))^x]^2 < x^2 - (x+1)(x-1) e:

As figuras ilustram dois circuitos. O Circuito 1 possui oito nos, numerados de N_1 a N_8, quatro resistores e apresenta algumas medidas realizadas por voltimetros e amperimetros, inclusive a corrente i_1 entre os nos N_4 e N_5. Ja o Circuito 2 possui duas baterias de 62 V, tres resistores identicos e um circuito que e ajustavel de forma que por ele circule a mesma corrente i_1 indicada no Circuito 1.

Os pontos A(1,3), B(2,6), C(7,5) e D(7,3) situam-se sobre lados distintos de um quadrado EFGH. Determine as coordenadas dos vertices desse quadrado.

A substancia gasosa obtida na reacao de 4 mols de peroxido de hidrogenio com oxido de prata, em excesso, foi borbulhada continuamente em um becher contendo 1 litro de agua. Durante os 16 minutos em que a reacao ocorreu, constatou-se que a quantidade de gas dissolvido na agua aumentou de 2,5 mg.L^-1 para 8 mg.L^-1. Determine: a) a estequiometria da reacao; b) a ordem dessa reacao, considerada elementar, em relacao ao peroxido; c) a velocidade media de producao de gas na reacao; d) o volume de gas que foi dissolvido na agua, medido nas CNTP.

Seja i tal que i^2 = -1. Seja A dado pela equacao: A = soma de n=1 ate 1000 de [(i)^(2n-2) * ln((n+1)/(n+2))^((-1)^(n-1))]. O valor de e^(-A) e:

: 0,25 Sejam dois dados c�bicos (com faces numeradas de 1 a 6) e um dado na forma de dodecaedro (com faces numeradas de 1 a 12). Em cada tipo de dado, todas as faces possuem mesma probabi- lidade de ocorr�ncia. Com um �nico lan�amento de cada dado, a probabilidade de se obter maior pontua��o com o dodecaedro do que com os dois dados c�bicos somados �: (A) 2/3 (B) 1/6 (C) 7/36 (D) 5/12 (E) 3/16

Sejam dois dados cubicos (com faces numeradas de 1 a 6) e um dado na forma de dodecaedro (com faces numeradas de 1 a 12). Em cada tipo de dado, todas as faces possuem mesma probabilidade de ocorrencia. Com um unico lancamento de cada dado, a probabilidade de se obter maior pontuacao com o dodecaedro do que com os dois dados cubicos somados e:

Considere que o dioxido de carbono da atmosfera terrestre reage com a agua da chuva, ao nivel do mar, criando uma solucao tampao de CO2(aq)|HCO3-(aq), conforme a reacao abaixo: CO2(aq) + 2H2O(l) <-> HCO3-(aq) + H3O+(aq), Keq=1,5x10^-8. Suponha que: i) a pressao parcial de equilibrio inicial de CO2(g) na atmosfera e 3,75x10^-4 bar; ii) para a formacao de CO2(aq) a partir de CO2(g), ocorre o seguinte equilibrio de dissolucao na atmosfera umida, com [CO2(aq)] em mol.L^-1 e P_CO2(g) em bar: CO2(g) <-> CO2(aq), Kdiss=0,04=[CO2(aq)]/P_CO2(g); iii) 5% em massa de NO2(g) reagem, de forma irreversivel, com OH gasoso na atmosfera para gerar HNO3(g): NO2(g) + OH(g) -> HNO3(g); iv) todo HNO3(g) se dissolve na atmosfera umida, transformando-se em HNO3(aq); v) o H2CO3(aq) formado a partir da reacao de HNO3(aq) com a base do tampao nao se converte em CO2(aq), HCO3-(aq), H3O+(aq) ou H2O(l). Sabe-se que: a unica solucao positiva da equacao x^2 + 1,5x10^-8 x - 225x10^-15 = 0 e aproximadamente 5,0x10^-7; a unica solucao positiva da equacao x^2 + 8,15x10^-7 x - 6,75x10^-14 = 0 e aproximadamente 0,8x10^-7. Apos a liberacao de 184 mg de NO2(g) por m^3 de atmosfera umida, calcule o modulo da diferenca entre os valores final e inicial do pH do tampao de CO2(aq)|HCO3-(aq).

Considere uma piramide triangular regular reta de altura h. Uma esfera de raio r contem os ortocentros das faces laterais da piramide e o vertice do qual foi tracada a altura da piramide. Calcule o volume da piramide em funcao de r e h.

Um sistema automatico de defesa contra um determinado tipo de blindado inimigo e instalado proximo a um morro. Nesse sistema, um observador comanda o disparo de um morteiro que se encontra escondido atras desse mesmo morro, com base na imagem do blindado obtida atraves de uma lente convergente especial. O observador realiza duas medidas do tamanho da imagem do blindado em instantes diferentes e utiliza esses valores para calcular o instante de disparo do morteiro.

: 0,25 (E) 52 O valor de n N tal que 1 1 1 + arctg 1 arctg + arctg + arctg = 3 4 5 n4 �: (A) 10 (B) 6 (C) 7 (D) 47 4