Ano 2023#matematica#combinatoria#funcoes#conjuntos#contagem#funcoes-crescentes#fase2#discursiva

Sobre o tema

A combinatória é um ramo da matemática que estuda métodos de contagem e estruturas discretas. Um problema clássico envolve contar funções estritamente crescentes entre conjuntos finitos. Uma função f: A → C é estritamente crescente se para quaisquer x1 < x2 em A, tem-se f(x1) < f(x2) em C. Isso impõe que os valores de f sejam uma sequência crescente de elementos de C. O número de tais funções é dado pelo coeficiente binomial |C| escolhe |A|, pois cada subconjunto de |A| elementos de C pode ser ordenado de forma única. Esse conceito é fundamental para problemas de contagem com restrições de ordem, como em provas do IME e outros vestibulares militares.

Tópicos relacionados

  • Funções estritamente crescentes
  • Combinações e coeficientes binomiais
  • Contagem de funções injetoras
  • Relação entre conjuntos finitos
  • Princípio fundamental da contagem

Enunciado

Joao nasceu no ano n e esta prestando vestibular para o IME em 2023. Sejam A, B e C conjuntos de inteiros positivos tais que |A| = |B| + 4. Sabe-se que ha n funcoes estritamente crescentes de A para C, bem como de B para C. Observacoes: |S| representa o numero de elementos do conjunto S; uma funcao e estritamente crescente quando x1 < x2 implica f(x1) < f(x2). Diante do exposto, determine: a) o numero de funcoes f estritamente crescentes de A para C em funcao de |A| e |C|; b) o ano no qual Joao nasceu.

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Perguntas frequentes

O que é uma função estritamente crescente?

É uma função que preserva a ordem: se x1 < x2, então f(x1) < f(x2).

Como contar funções estritamente crescentes de um conjunto A para um conjunto C?

O número é dado por C(|C|, |A|) (combinação de |C| elementos tomados |A| a |A|), pois cada escolha de |A| elementos de C, ordenados crescentemente, corresponde a uma única função.

Qual a diferença entre função estritamente crescente e função injetora?

Toda função estritamente crescente é injetora, mas uma injetora não precisa preservar a ordem; a estritamente crescente exige que valores menores tenham imagens menores.

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