Sobre o tema
O traço de uma matriz quadrada é a soma dos elementos de sua diagonal principal. Este conceito surge frequentemente em álgebra linear, relacionado a invariantes como autovalores. Nesta questão do IME, combina-se o traço com uma progressão aritmética (PA) que preenche a matriz linha por linha. A compreensão da indexação linear dos elementos é crucial: cada entrada depende de sua posição na sequência. A resolução exige determinar o termo geral da PA para os elementos diagonais e somá-los, aplicando a fórmula da soma de uma PA. O resultado é um número grande, cuja soma dos algarismos é solicitada. Essa abordagem integra raciocínio algébrico e aritmético, testando a capacidade de modelar problemas matriciais com sequências.
Tópicos relacionados
- Traço de matriz
- Progressão aritmética em matriz
- Soma de progressão aritmética
- Diagonal principal
- Soma de algarismos
Enunciado
: 0,25
Seja uma matriz com 100 linhas e 100 colunas. O elemento da linha i e coluna j � denotado por
ai,j. Os elementos da matriz formam uma progress�o aritm�tica (PA) de raz�o 5. O primeiro termo
da progress�o � o elemento a1,1 e tem seu valor igual a 10. Para formar essa PA, percorrem-se os
elementos de uma mesma linha e conclu�da uma linha, passa-se para a pr�xima. Se n � o tra�o da
matriz, a soma dos algarismos de n �:
(A) 10 (B) 19 (C) 23 (D) 28 (E) 32
3
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Perguntas frequentes
O que é o traço de uma matriz?
O traço de uma matriz quadrada é a soma dos elementos da diagonal principal. É um invariante importante em álgebra linear, relacionado à soma dos autovalores.
Como calcular a soma dos termos de uma progressão aritmética?
A soma dos n primeiros termos de uma PA é dada por S = (n/2) * (a1 + an), onde a1 é o primeiro termo e an é o último.
Por que o traço é útil em problemas de concursos?
O traço aparece em questões que envolvem propriedades matriciais, como determinantes e autovalores, e pode ser combinado com sequências para testar raciocínio lógico e algébrico.