Questões do IME

: 0,25 Considere as propriedades dos coeficientes binomiais. Qual das seguintes identidades est� incor- reta? 2 2 2 2 (A) 100 + 100 +���+ 100 = 200 0 1 100 100 (B) 100 + 100 = 101 39 40 40 (C) 2�1� 100 +3�2� 100 +4�3� 100 +� � �+100�99� 100 = 9900�298 2 3 4 100 (D) 100 +2� 100 +3� 100 + � � � + 100 � 100 = 100 � 299 1 2 3 100 (E) 1 - 100 + 100 - 100 +���+ 100 =0 1 2 3 100

Seja a matriz quadrada A de ordem 2021 cujo o elemento da linha i e coluna j e: a_{i,j} = 1, se i = 1 ou i diferente de j; a_{i,j} = 0, se i = j e i diferente de 1, com i, j em {1, 2, ..., 2021}. O valor do determinante de A e:

: 0,25 Seja a matriz quadrada A de ordem 2021 cujo o elemento da linha i e coluna j � 1, se i = 1 ou i = j ai,j = 0, se i = j = 1 com i, j {1, 2, � � � , 2021}. O valor do determinante de A �: (A) -2021 (B) 2021 (C) 0 (D) 1 (E) -1

: 0,25 Para cada n�mero n natural, seja a fun��o real fn(x) definida para cada x IR, tal que x = (k + 1)/2, k Z, de forma que: [tg(x)]n + 1 fn(x) = n[sec(x)]n 1 A fun��o g(x) que atende g(x) = f6(x) - f4(x) + 3 �: (A) cos(x) + 3 1 (C) sen(x) - 2 1 1 (E) tg(x) - (B) (D) 4 12 3 5

Para cada numero n natural, seja a funcao real f_n(x) definida para cada x em IR, tal que x diferente de (k+1)*pi/2, para todo k em Z, de forma que: f_n(x) = ([tg(x)]^n + 1) / (n * [sec(x)]^n) A funcao g(x) que atende g(x) = f_6(x) - f_4(x) + 1/3 e:

Considere o ponto A(-4, 2) e B um ponto variavel sobre o eixo das ordenadas. Tracam-se as retas AB e por B, a perpendicular a AB que intercepta o eixo das abcissas em C. Seja a equacao do lugar geometrico do ponto de intersecao da perpendicular ao eixo das abcissas tracada por C com a perpendicular ao eixo das ordenadas tracada por B. A equacao desse lugar geometrico e:

: 0,25 Considere o ponto A(-4, 2) e B um ponto vari�vel sobre o eixo das ordenadas. Tra�am-se as retas AB e por B, a perpendicular a AB que intercepta o eixo das abcissas em C. Seja a equa��o do lugar geom�trico do ponto de interse��o da perpendicular ao eixo das abcissas tra�ada por C com a perpendicular ao eixo das ordenadas tra�ada por B. A equa��o desse lugar geom�trico �: (A) x2 = 4y + 1 (B) y2 = 4x (C) y = -x + 2 (D) x2 + (y - 2)2 = 4 (E) (y - 1)2 = 4x + 1

: 0,25 Considere os tri�ngulos ABC em que BC = 32 e AB = 3. O maior valor poss�vel para a AC altura relativa ao lado BC �: (A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 11 (E) 12

Considere os triangulos ABC em que BC = 32 e AB/AC = 3. O maior valor possivel para a altura relativa ao lado BC e:

: 0,25 3R Seja o cone de revolu��o de raio de base R e altura com a base apoiada em um solo horizontal. 2 Um ponto luminoso est� localizado a uma altura 3R do solo e distante, horizontalmente, 2R do centro da base do cone. A �rea S da regi�o iluminada no cone �: (A) R2 13 13 (B) 2R2 3 13 (C) R2 2 13 (D) R2 3 (E) 13R2 4 6  CONCURSO DE ADMISS�O AO CONCURSO DE FORMA��O E GRADUA��O QUEST�ES DE 16 A 30 F�SICA

Seja o cone de revolucao de raio de base R e altura 3R/2 com a base apoiada em um solo horizontal. Um ponto luminoso esta localizado a uma altura 3R do solo e distante, horizontalmente, 2R do centro da base do cone. A area S da regiao iluminada no cone e:

: 0,25 A figura mostra uma pequena esfera carregada, interligada por um cabo de comprimento L, inex- tens�vel e de massa desprez�vel, que gira em torno de um eixo vertical com velocidade angular . O movimento da esfera ocorre numa regi�o submetida a um campo el�trico uniforme E, conforme indicado na figura. Dados: � massa da esfera: m = 50 g; � carga el�trica da esfera: q = - 10 C; � intensidade do campo el�trico: |E| = 0,07 N/C; � velocidade angular do eixo: = 120 rpm; � comprimento do cabo: L = 30 cm; � acelera��o da gravidade: g = 10 m/s2; e � 2 10. Observa��o: � a espessura do eixo vertical � desprez�vel. O �ngulo formado entre o cabo e o eixo � aproximadamente: (A) 75o (B) 60o (C) 45o (D) 30o (E) 15o 7

A figura mostra uma pequena esfera carregada, interligada por um cabo de comprimento L, inextensivel e de massa desprezivel, que gira em torno de um eixo vertical com velocidade angular omega. O movimento da esfera ocorre numa regiao submetida a um campo eletrico uniforme E, conforme indicado na figura. Dados: massa da esfera: m = 50 g; carga eletrica da esfera: q = -10 C; intensidade do campo eletrico: |E| = 0,07 N/C; velocidade angular do eixo: omega = 120 rpm; comprimento do cabo: L = 30 cm; aceleracao da gravidade: g = 10 m/s^2; pi^2 aprox 10. A espessura do eixo vertical e desprezivel. O angulo theta formado entre o cabo e o eixo e aproximadamente: [Figura do pendulo eletrico circular]

: 0,25 Conforme ilustrado na figura, uma fonte localizada na extremidade de um anteparo, que � reflexivo e tem a forma de uma semi-circunfer�ncia, emite raios luminosos de comprimento de onda constante, em fase, em todas as dire��es. Observa��es: � para cada ponto da semi-circunfer�ncia, considere apenas o efeito da interfer�ncia de uma �nica reflex�o, como exemplificado na figura; e � considere que, na reflex�o, o raio luminoso sofra uma invers�o de fase. Sabendo que a raz�o entre o raio da semi-circunfer�ncia e o comprimento de onda � 30, o n�mero N de m�ximos locais de interfer�ncia que ser�o observados no anteparo � tal que: (A) N < 5 (B) 5 N < 12 (C) 12 N < 21 (D) 21 N < 27 (E) 27 N

Conforme ilustrado na figura, uma fonte localizada na extremidade de um anteparo, que e reflexivo e tem a forma de uma semi-circunferencia, emite raios luminosos de comprimento de onda constante, em fase, em todas as direcoes. Para cada ponto da semi-circunferencia, considere apenas o efeito da interferencia de uma unica reflexao, como exemplificado na figura; e considere que, na reflexao, o raio luminoso sofra uma inversao de fase. Sabendo que a razao entre o raio da semi-circunferencia e o comprimento de onda e 30, o numero N de maximos locais de interferencia que serao observados no anteparo e tal que: [Figura esquematica do anteparo semi-circular e interferencia]

: 0,25 Uma fonte sonora A, que emite um som de frequ�ncia constante, e um observador B est�o pr�- ximos um do outro e movem-se lentamente de acordo com as equa��es temporais no Plano XY mostradas abaixo: XA = cos(t) + log(1 + t) YA = 2t + 3 XB = log(1 + t) - sen(t) YB = 2t - 1 Considerando que a fonte sonora emita um som de frequ�ncia constante, a frequ�ncia percebida pelo observador, dentre as op��es, � desprovida de efeito Doppler quando o instante t for: (A) 0 (B) /6 (C) /2 (D) 3/4 (E) 8

Uma fonte sonora A, que emite um som de frequencia constante, e um observador B estao proximos um do outro e movem-se lentamente de acordo com as equacoes temporais no Plano XY mostradas abaixo: X_A = cos(t) + log(1 + t) Y_A = 2t + 3 X_B = log(1 + t) - sen(t) Y_B = 2t - 1 Considerando que a fonte sonora emita um som de frequencia constante, a frequencia percebida pelo observador, dentre as opcoes, e desprovida de efeito Doppler quando o instante t for:

Um prisma possui um angulo agudo alfa e indice de refracao variavel de acordo com a expressao: n(lambda) = A + B/lambda^2, em que A e B sao constantes e lambda e o comprimento de onda. Uma luz branca vinda do ar (n0 = 1) incide sobre a face vertical do prisma e sofre dispersao cromatica no seu interior, voltando para o ar ao sair do prisma. Tal luz possui componentes espectrais no intervalo: lambda1 <= lambda <= lambda2. Os angulos theta0 e alfa sao tao pequenos que a aproximacao sen(x) aprox x e valida. Diante do exposto, a maior abertura angular Delta_theta entre as componentes espectrais e aproximadamente: [Figura do prisma com dispersao cromatica]

: 0,25 Um prisma possui um �ngulo agudo e �ndice de refra��o vari�vel de acordo com a express�o: n() = A + B 2 em que A e B s�o constantes e � o comprimento de onda. Uma luz branca vinda do ar (n0 = 1) incide sobre a face vertical do prisma e sofre dispers�o crom�tica no seu interior, voltando para o ar ao sair do prisma. Tal luz, possui componentes espec- trais no intervalo: 1 2. Considera��o: � os �ngulos 0 e s�o t�o pequenos que a aproxima��o sen(x) = x � v�lida, para x = 0 ou x = . Diante do exposto, a maior abertura angular entre as componentes espectrais � aproximada- mente: (A) A(22-12) 12 (B) 0A(22-21) 12 (C) B(22+21) (12)2 (D) 0B(22-21) (12)2 (E) B(22-21) (12)2 9

A tabela mostra a velocidade v do som, a 20 graus C e 1 atm, em seis gases diferentes: argonio 319 m/s, criptonio 221 m/s, helio 1007 m/s, hidrogenio 1270 m/s, oxigenio 326 m/s, xenonio 178 m/s. Quando um tubo aberto em uma das extremidades e enchido com oxigenio, a frequencia do primeiro harmonico do som produzido pelo tubo e 163 Hz. Quando o oxigenio e substituido por um dos cinco gases restantes, a frequencia do quinto harmonico do som produzido pelo tubo e 2517,5 Hz. Isso significa que o gas escolhido para o segundo experimento foi o:

: 0,25 G�s v [m/s] arg�nio cript�nio 319 h�lio 221 hidrog�nio 1007 oxig�nio 1270 xen�nio 326 178 fonte: https://pages.mtu.edu/suits/SpeedofSoundOther.html A tabela mostra a velocidade v do som, a 20 oC e 1 atm, em seis gases diferentes. Quando um tubo aberto em uma das extremidades � enchido com oxig�nio, a frequ�ncia do primeiro harm�nico do som produzido pelo tubo � 163 Hz. Quando o oxig�nio � substitu�do por um dos cinco gases restantes, a frequ�ncia do quinto harm�nico do som produzido pelo tubo � 2517,5 Hz. Isso significa que o g�s escolhido para o segundo experimento foi o: (A) arg�nio (B) cript�nio (C) h�lio (D) hidrog�nio (E) xen�nio

: 0,25 Um aluno est� em uma nave (referencial S) que viaja a uma velocidade v relativa ao professor (referencial S ). Em t = t = 0 (tempo em cada um dos referenciais), a nave passa pelo professor e o aluno inicia uma prova de f�sica. Em t = , um pulso de luz � emitido pelo aluno at� o professor e � refletido de volta � nave, quando ent�o a prova � encerrada. Sabendo que a velocidade da luz � c e que = 1/ 1 - v2/c2 , a dura��o da prova no referencial do professor �: (A) /(1 - v/c) (B) (1 + v/c) (C) /(1 + v/c) (D) (1 - v/c)/(1 + v/c) (E) (1 + v/c)/(1 - v/c) 10

Um aluno esta em uma nave (referencial S) que viaja a uma velocidade v relativa ao professor (referencial S'). Em t = t' = 0 (tempo em cada um dos referenciais), a nave passa pelo professor e o aluno inicia uma prova de fisica. Em t = tau, um pulso de luz e emitido pelo aluno ate o professor e e refletido de volta a nave, quando entao a prova e encerrada. Sabendo que a velocidade da luz e c e que gamma = 1/sqrt(1 - v^2/c^2), a duracao da prova no referencial do professor e: