Sobre o tema
As identidades envolvendo coeficientes binomiais são fundamentais em combinatória e probabilidade. Elas permitem simplificar somatórios e resolver problemas de contagem. Dentre as mais conhecidas estão o Teorema de Pascal, que relaciona a soma de dois binomiais consecutivos, e as identidades de soma de quadrados e soma ponderada. No contexto de concursos militares como o IME, dominar essas propriedades é essencial para questões de análise combinatória e expansão binomial. A questão apresentada testa o reconhecimento de identidades corretas e incorretas, exigindo atenção aos detalhes nos índices.
Tópicos relacionados
- Teorema de Pascal
- Soma de quadrados de binomiais
- Soma ponderada de binomiais
- Expansão binomial
- Identidades combinatórias
Enunciado
: 0,25
Considere as propriedades dos coeficientes binomiais. Qual das seguintes identidades est� incor-
reta?
2 2 2 2
(A) 100 + 100 +���+ 100 = 200
0 1 100 100
(B) 100 + 100 = 101
39 40 40
(C) 2�1� 100 +3�2� 100 +4�3� 100 +� � �+100�99� 100 = 9900�298
2 3 4 100
(D) 100 +2� 100 +3� 100 + � � � + 100 � 100 = 100 � 299
1 2 3 100
(E) 1 - 100 + 100 - 100 +���+ 100 =0
1 2 3 100
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Perguntas frequentes
O que diz o Teorema de Pascal?
O Teorema de Pascal afirma que a soma de dois coeficientes binomiais consecutivos de mesma ordem superior é igual ao coeficiente binomial de ordem superior aumentada em 1 e ordem igual ao maior dos dois inferiores: C(n,k) + C(n,k+1) = C(n+1,k+1).
Como calcular a soma dos quadrados dos binomiais de ordem n?
A soma dos quadrados dos binomiais de ordem n é igual ao binomial central de ordem 2n: ∑_{k=0}^n C(n,k)^2 = C(2n,n).
Qual a identidade para a soma de k vezes o binomial de ordem n?
A soma de k vezes o binomial de ordem n é n vezes 2^(n-1): ∑_{k=1}^n k·C(n,k) = n·2^(n-1).