Sobre o tema
Esta questão do IME aborda a simplificação de funções trigonométricas usando identidades fundamentais. A função fn(x) é definida em termos de tangente e secante, mas pode ser simplificada para (sen^n x + cos^n x)/n, eliminando a dependência de tangente e secante. A partir disso, calcula-se g(x) = f6(x) - f4(x) + 3, que resulta em uma constante, demonstrando como combinações de senos e cossenos de potências pares podem ser simplificadas usando identidades como sen^2 x + cos^2 x = 1 e fórmulas de redução. Esse tipo de problema é comum em concursos militares, testando a habilidade de manipulação algébrica e conhecimento de trigonometria.
Tópicos relacionados
- Identidades trigonométricas fundamentais
- Simplificação de funções trigonométricas
- Potências de seno e cosseno
- Funções constantes em trigonometria
- IME Matemática
Enunciado
: 0,25
Para cada n�mero n natural, seja a fun��o real fn(x) definida para cada x IR, tal que
x = (k + 1)/2, k Z, de forma que:
[tg(x)]n + 1
fn(x) = n[sec(x)]n
1
A fun��o g(x) que atende g(x) = f6(x) - f4(x) + 3 �:
(A) cos(x) + 3 1 (C) sen(x) - 2 1 1
(E) tg(x) -
(B) (D)
4 12 3
5
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Perguntas frequentes
Como simplificar sen^4 x + cos^4 x?
Usando a identidade (sen^2 x + cos^2 x)^2 = 1, temos sen^4 x + cos^4 x = 1 - 2 sen^2 x cos^2 x.
Qual a relação entre tangente, secante, seno e cosseno?
tg x = sen x / cos x e sec x = 1 / cos x. Essas definições permitem converter expressões em termos de seno e cosseno.
Por que g(x) resulta em uma constante?
Após simplificar as potências pares de seno e cosseno, os termos com sen^2 x cos^2 x se cancelam, restando apenas termos constantes.