Questões do ITA

Sejam $a$ e $b$ números reais positivos. Considere o sistema linear nas incógnitas $x$, $y$ e $z$: $$\begin{cases} -ax + by + az = 0 \\ b^2x + a^3y + 4a^2z = 0 \\ 4a^2x + a^3y + b^2z = 0 \end{cases}$$ Sabendo que esse sistema admite solução não trivial, determine $b$ em função de $a$. Determine o conjunto solução do sistema para $a = \dfrac{1}{2}$.

Uma particula e lancada horizontalmente de uma determinada altura em relacao ao solo em duas situacoes: uma em vacuo e outra em ar atmosferico estatico, mantendo todas as outras caracteristicas, como altura e velocidade inicial identicas. O grafico do modulo de sua velocidade $v$ em funcao da distancia horizontal $x$, no caso do lancamento no vacuo, e mostrado na figura pela curva em linha tracejada, juntamente com mais outras quatro curvas. O ponto no extremo de cada curva indica a posicao em que a particula atingiu o solo. Pode(m) descrever de maneira correta o lancamento em ar atmosferico apenas a(s) curva(s)

Considere dois líquidos voláteis, A e B, que são completamente miscíveis entre si e que formam uma solução ideal em toda a amplitude de concentrações. Esses líquidos são adicionados a um tanque fechado, inicialmente sob vácuo, e mantido em temperatura constante (T), na proporção molar 1:1. Considere que a mistura causa um abaixamento na pressão de vapor do líquido A igual a 40 Torr e que a pressão de vapor do líquido B puro é igual a 20 Torr. Determine os valores numéricos: a) da pressão de vapor do líquido A puro na temperatura T; b) da pressão de vapor da solução, depois de atingido o equilíbrio do sistema; c) da composição molar da fase vapor em equilíbrio com a fase líquida presente no tanque.

Um bloco cubico de aresta $l = 4{,}5$ cm desliza, sob o efeito da gravidade, sobre um plano inclinado de angulo $\theta = 60^\circ$ relativamente a horizontal. O deslizamento acontece com as normais de duas de suas faces sempre paralelas a direcao do movimento. Para estudar o movimento, um observador usa uma maquina fotografica que captura em uma mesma imagem a posicao do bloco em instantes diferentes. A camera e programada para abrir e fechar o diafragma periodicamente, a cada intervalo de tempo $\Delta t = 0{,}2$ s. O tempo de exposicao $\tau$, isto e, o tempo em que o diafragma permanece aberto, e tal que $\tau \ll \Delta t$. O disparo da camera e sincronizado com o movimento, de modo que a primeira exposicao acontece no instante em que o bloco e solto. A foto registra quatro pontos que correspondem a posicao do objeto em diferentes instantes. O experimentador extrai da foto a distancia entre pontos adjacentes, $\Delta x_n = x_n - x_{n-1}$, com $n = 1, 2$ e $3$. Considere que a foto capta o perfil lateral do plano inclinado sem distorcoes opticas ou efeitos de paralaxe. Faca o que se pede: (a) Se $\Delta x_3 = 0{,}75$ m, determine os valores de $\Delta x_2$, $\Delta x_1$ e o deslocamento total do bloco. (b) Estime o valor do coeficiente de atrito cinetico entre a superficie do bloco e do plano inclinado. (c) Considere agora que $\tau$ ainda e pequeno, mas seu efeito ja nao e mais desprezivel. Determine o valor de $\tau$ para que, na quarta captura, a imagem seja um retangulo de dimensoes $l$ por $2l$.

Recentemente, um engenheiro do Google afirmou que uma maquina de inteligencia artificial da empresa, chamada LaMDA (abreviacao para Language Model for Dialogue Applications), desenvolveu a capacidade de ter experiencias conscientes. O engenheiro declarou ter amizade com o modelo e ter lhe dado orientacao espiritual. A empresa demitiu o engenheiro e refutou suas afirmacoes por meio de um porta-voz: 'Nosso time revisou as preocupacoes [do engenheiro] e o informou de que as evidencias nao suportam suas afirmacoes.' Fonte: ROMANI, Bruno. 'Deletar IA consciente e o mesmo que assassinato', diz engenheiro do Google. 26/06/2022. Adaptado. Redija uma dissertacao argumentativa, relacionando os acontecimentos relatados com pelo menos um item da coletanea e abordando os seguintes topicos: tecnofilia; riscos. Coletanea: Item 1: Cerebro eletronico (Gilberto Gil, 1969) - poema sobre a distincao entre inteligencia eletronica e a experiencia humana subjetiva (vida, morte, espiritualidade). Item 2: Gravura 'Mais uma vitoria do coracao, sem razao' (Susano Correia) - obra visual sem legenda explicita no PDF; referenciada como contraponto ao racionalismo tecnologico. Item 3: 'Ta combinado' (Caetano Veloso, 1986) - versos sobre conexao humana, alteridade e o 'mais que humano' que pode florescer na convivencia. Item 4: Neo-humano (Lucia Santaella, 2022) - excerto sobre as transformacoes da mente e do corpo provocadas por dispositivos, GPS, hiperconexoes e a hibridizacao carbono-silicio. Item 5: Os robos fazem amor? (Laurent Alexandre e Jean-Michel Besnier, 2022) - dialogo sobre multiplos tipos de inteligencia (Howard Gardner), o risco de destruicao de empregos pela IA e a necessidade de a humanidade nao macaquear as maquinas.

Considere uma particula $P_1$, de massa $m_1$, inicialmente em repouso. Em seguida, essa particula e acelerada por uma forca constante $F_1$, durante um intervalo de tempo $t_1$. Apos este intervalo de tempo, $P_1$ move-se livremente sem atrito por um plano, ate colidir com uma particula $P_2$, de massa $m_2 = 2m_1$. Apos a colisao, $P_2$ sai em uma trajetoria que faz um angulo $\theta = \pi/6$ rad com relacao a trajetoria inicial (pre-colisao) de $P_1$. Apos um breve deslocamento, uma forca constante $F_2$, com direcao contraria a da velocidade da particula $P_2$, atua durante um intervalo de tempo $t_2 = 3t_1$ ate a parada total de $P_2$. Sabendo que a colisao entre $P_1$ e $P_2$ e inelastica e resulta em uma perda de 25% da energia mecanica do sistema, determine a magnitude da forca $F_1$ em termos da magnitude de $F_2$.

O ácido fórmico pode ser obtido por meio de uma reação de duas etapas. Na primeira etapa, em temperatura de 200 °C e pressão de 10 atm, monóxido de carbono e hidróxido de sódio reagem. Na segunda, o produto dessa primeira etapa reage com ácido sulfúrico, formando-se o ácido fórmico. Sobre esse processo, apresente: a) a fórmula estrutural do produto gerado na primeira etapa; b) a equação química balanceada da primeira etapa; c) a equação química balanceada da segunda etapa.

Considere as seguintes matrizes: $$A = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 0 & 6 \\ 6 & 0 \end{bmatrix} \quad \text{e} \quad C = \begin{bmatrix} 3 & 3 \\ 3 & 3 \end{bmatrix}.$$ Determine os números $\alpha \in \mathbb{R}$ tais que a matriz $M = \alpha^2 A + \alpha B + C$ é invertível.

Um disco de raio $R$ com centro em $O$ pode girar livremente em um plano horizontal sem atrito em torno de um eixo fixo que passa por $O$. Uma mola de comprimento natural $L$ tem uma das suas extremidades articuladas a um ponto fixo na parede. Este ponto esta localizado a uma distancia $L$ do ponto $O$. A outra extremidade esta articulada a borda do disco, em uma posicao cujo movimento sera analisado a seguir. Inicialmente, a mola se encontra em orientacao perpendicular a parede e seu comprimento esta reduzido a $x = L - R$. Considere que os pontos $A$ e $B$ sao pontos fixos do espaco e que $R < L$. Afirmacoes: 1. O sistema tem apenas dois pontos de equilibrio, $A$ e $B$, sendo ambos instaveis. 2. Se um pequeno torque impulsivo for aplicado ao disco, este ultimo continuara completando voltas indefinidamente, contanto que nao haja nenhuma dissipacao de energia. 4. Se um pequeno torque impulsivo for aplicado ao disco, este pode nao completar uma volta se a sua massa for muito grande e a constante elastica for muito pequena, mesmo sem haver dissipacao de energia. 8. Seja $C$ um ponto fixo no espaco a uma distancia $R$ de $O$. Se $|\widehat{AOC}| < 30°$, $C$ nunca sera um ponto de equilibrio estavel. Assinale a alternativa que contem a soma dos numeros correspondentes as afirmacoes verdadeiras.

Considere um recipiente que contem uma coluna de agua de altura $H$. Um pequeno furo e feito na parede a uma altura $h$, de tal forma que um filete de agua e expelido horizontalmente. Considere a agua um fluido incompressivel e de viscosidade desprezivel. A aceleracao local da gravidade vale $g$. Determine: (a) A trajetoria $y(x)$ do filete de agua descrito. (b) O lugar geometrico dos pontos $P(x, y)$ que podem ser atingidos por um filete de agua, considerando que a altura $h$ possa ser escolhida entre $0$ e $H$.

Determine o conjunto solução da inequação $$\log_{2-x}\!\left(-\sqrt[3]{x^2 + 2x - 3}\right) > \log_{2-x}\!\left(\sqrt[3]{3}\right).$$

Um determinado sistema consiste em dois sólidos, A e B, cada qual com uma quantidade igual a 1 mol. Considere que os sólidos estão fisicamente separados, mas em contato térmico por meio de uma parede condutora de calor, a qual garante que estejam em equilíbrio térmico em todos os instantes. A temperatura inicial desse sistema é igual a -10 °C. O sistema é aquecido até atingir a temperatura de 20 °C. A temperatura de fusão de A é igual a 0 °C e a de B é igual a 10 °C. Considere ainda os dados a seguir. I. Variação de entalpia de fusão, de A, ΔHfusão(A) = 1 kJ mol⁻¹, e de B, ΔHfusão(B) = 2 kJ mol⁻¹; II. Capacidade calorífica molar sob pressão constante, de A sólido, Cp,sólido(A) = 30 J mol⁻¹ K⁻¹, e de B sólido, Cp,sólido(B) = 20 J mol⁻¹ K⁻¹; III. Capacidade calorífica molar sob pressão constante, de A líquido, Cp,líquido(A) = 50 J mol⁻¹ K⁻¹, e de B líquido, Cp,líquido(B) = 100 J mol⁻¹ K⁻¹. Desenhe um gráfico da temperatura do sistema, em °C, em função da quantidade de calor fornecida, em kJ, indicando o fenômeno físico e o valor numérico da quantidade de calor fornecida em cada etapa do processo de aquecimento, até a temperatura final ser atingida.

Considere um recipiente, sobre uma plataforma, sujeito a pressao atmosferica $P_{atm}$. Esse recipiente contem um volume inicial $V_i$ de um gas monoatomico ideal em equilibrio e tem um embolo de secao transversal de area $A$ e de massa $m$. Para monitorar a aceleracao do sistema, a plataforma foi suspensa por um dinamometro. Por causa de uma acao de uma forca externa vertical, o embolo atinge uma nova posicao de equilibrio. Nessa posicao a leitura do dinamometro indica que a aceleracao do sistema e de $g/10$ para cima. Determine o modulo do deslocamento $x$ do embolo, com relacao ao fundo do recipiente, considerando que a transformacao do gas e isentropica.

Um corpo de massa $m$ e lancado em um plano horizontal sem atrito, sob acao da gravidade $g$, e, ao entrar em um tubo, executa uma trajetoria circular de raio $R$. A forca exercida no corpo pelo tubo logo apos o inicio do movimento circular tem intensidade $F$. Apos meia volta, o corpo percorre uma trajetoria retilineo em movimento uniforme ate certa distancia e depois sobe ate certa altura $h$. O corpo sai do tubo em movimento vertical e imediatamente passa a se mover dentro de um fluido viscoso ate atingir altura maxima $H$. Considere que o corpo se desloca pelo tubo sem atrito; que o diametro do tubo e desprezivel em relacao a $R$, $h$ e $H$; e que o modulo do trabalho realizado pela forca de atrito viscoso ate a massa atingir $H$ e equivalente a um terco da energia cinetica da particula, quando esta adentra o fluido. Assinale a alternativa que expressa $H$ em funcao das variaveis fornecidas.

Considere o polinômio $p(x) = x^4 - x^3 + x^2 - x + 1$. Determine o quociente e o resto da divisão do polinômio $q(x) = x^{10} - 1$ por $p(x)$ e encontre todas as raízes complexas de $p(x)$.

Duas soluções aquosas, contendo os cátions genéricos, A⁺ e B⁺, são preparadas com as concentrações iniciais descritas a seguir. Solução 1: [A⁺] = 2 × 10⁻² mol L⁻¹ e [B⁺] = 1 × 10⁻⁴ mol L⁻¹. Solução 2: [A⁺] = 5 × 10⁻² mol L⁻¹ e [B⁺] = 1 × 10⁻³ mol L⁻¹. A cada uma dessas soluções são adicionadas quantidades progressivas de um ânion C⁻, sem variação significativa do volume das soluções. Considere que os produtos de solubilidade dos sólidos AC(s) e BC(s) são iguais a 1 × 10⁻⁷ e 1 × 10⁻⁹, respectivamente. Com base nessas informações, determine o que se pede para a solução 1 e para a solução 2. a) Qual sólido será formado primeiro com a adição progressiva de C⁻ a cada uma das soluções? Justifique a sua resposta. b) Conforme C⁻ é progressivamente adicionado, o segundo sólido começa a se formar. Nesse momento, qual é a concentração em solução do cátion desse primeiro sólido precipitado em cada solução?

Considere uma nave espacial esferica, de raio $R$, com paredes de espessura $h \ll R$. No espaco profundo, existe uma radiacao cosmica de fundo de temperatura $T_0$ (aproximadamente $2{,}7$ K). Seja a temperatura da parede interna da nave $T_i$, e a temperatura da parede externa $T_e$, com $T_i > T_e > T_0$. A condutividade termica do material que compoe a parede da nave e $\kappa$; o seu calor especifico e $c$ e sua densidade de massa e $\rho$. A emissividade da nave e unitaria e a constante de Stefan-Boltzmann e dada por $\sigma$. Quando ocorrem pequenas variacoes de temperatura na parede interna da nave, a condicao de fluxo estacionario de calor e perturbada e o sistema tende a uma nova situacao de fluxo estacionario de energia. A constante de tempo caracteristica $\tau$ desse processo pode ser estimada apenas em termos das caracteristicas do material que compoe o revestimento da nave: $\kappa$, $c$ e $\rho$, bem como sua espessura $h$. Faca o que se pede: (a) Obtenha a equacao polinomial cuja raiz forneca $T_e$ com os coeficientes em termos de $\kappa$, $\sigma$, $h$, $T_i$ e $T_0$, considerando a condicao de fluxo de calor estacionario. (b) Estime, por analise dimensional, uma expressao para $\tau$.

Uma amostra de 5,480 g de uma mistura de óxido e carbonato de um mesmo metal (com um estado de oxidação igual a +2 nesses compostos) é completamente dissolvida em excesso de ácido clorídrico. Nesse processo, 0,448 L (condições normais) de gás são liberados. Com base nessas informações, determine os valores numéricos a) da composição da mistura, em frações mássicas, se a quantidade em mol de carbonato na mistura é duas vezes maior do que a quantidade do óxido; b) da concentração molar do sal formado na solução resultante, se o volume final da dissolução é igual a 200 mL.

Considere um recipiente tubular fino, com area transversal constante, que contem dois liquidos imisciveis $A$ e $B$. As hastes verticais deste recipiente distam 20 cm uma da outra ($L = 20$ cm). Quando o recipiente esta em repouso, o liquido $A$ atinge uma altura de 80 cm em relacao a linha de separacao dos liquidos. Quando o recipiente e colocado em movimento retilineo uniformemente variado, a altura de $A$ com relacao a linha de separacao dos liquidos passa a ser $H = 76$ cm. Considerando-se que o sistema parta do repouso, a distancia percorrida pelo recipiente apos um intervalo de 3,0 s e

Um emissor de onda sonora esferica de frequencia $f_s$ executa um movimento circular uniforme com velocidade angular $\omega$ e raio $r$ em torno da origem $O$ do plano $xy$. Ao mesmo tempo, um receptor sonoro executa um movimento no eixo $y$ de forma que sua posicao sempre coincida com a coordenada $y$ do emissor. A velocidade do som e designada como $v_{\mathrm{som}}$. Sabe-se que o grafico da frequencia da onda sonora detectada no receptor, $f_{\mathrm{ob}}$, em funcao da coordenada $x$ do emissor, aproxima-se de uma conica para o caso em que $r\omega \ll v_{\mathrm{som}}$. Determine: (a) A velocidade maxima alcancada pelo receptor. (b) A conica e sua equacao.

Sejam $A = \cos(\alpha) + \cos(\beta)$ e $B = \operatorname{sen}(\alpha) - \operatorname{sen}(\beta)$ com $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$. Calcule $\operatorname{sen}(\alpha - \beta)$ em função de $A$ e $B$, sabendo que $A$ e $B$ não são ambos nulos.

Suponha que, em medições experimentais realizadas no espaço sideral, foi descoberto um sistema formado de gás hidrogênio atômico excitado. A energia desse hidrogênio excitado é igual a -0,34 meV, fazendo com que o sistema emita um espectro de ondas eletromagnéticas de forma aparentemente contínua. Considere o modelo do átomo proposto por Bohr para descrever esse sistema. Considere, ainda, que a energia do átomo de hidrogênio no estado fundamental é -13,6 eV e que o raio do átomo de hidrogênio no estado fundamental é igual a 53 pm. Acerca desse sistema, determine o que se pede a seguir. a) Qual é o nível de energia no qual os átomos de hidrogênio excitados se encontram? b) Qual é o raio da órbita do elétron ao redor do próton nesses átomos de hidrogênio? c) Qual é a razão entre a velocidade do elétron do átomo de hidrogênio no estado fundamental e no estado excitado?

Considere uma maquina termica que opera com um ciclo termodinamico composto de quatro etapas: (i) expansao isotermica, a temperatura $T_q$, saindo do volume inicial $V_0$ ate o volume final $V_f$; (ii) resfriamento isocorico de $T_q$ ate $T_f$; (iii) compressao isotermica, a temperatura $T_f$, de $V_f$ ate $V_0$; e (iv) aquecimento isocorico de $T_f$ ate $T_q$. I. Aumentando-se a razao de expansao, $r = V_f/V_i$, e possivel aumentar o rendimento da maquina mantendo os demais parametros fixos. II. Se o fluido de trabalho fosse substituido por um gas nobre, entao o rendimento dessa maquina seria aumentado. III. Considerando os parametros $r = 10$, $T_f = 300$ K e $T_q = 900$ K, o valor do rendimento da maquina e superior a 50%. Sobre as afirmacoes I, II e III pode-se afirmar que

Considere um triângulo $ABC$ tal que $m(AB) = 4$, $m(AC) = 5$ e $\widehat{BAC} = 60^\circ$. Seja $D$ um ponto no lado $AB$ tal que $m(AD) = 1$. Encontre o raio do círculo inscrito no triângulo $BCD$.