Sobre o tema
Inequações logarítmicas com base variável e argumento envolvendo raiz cúbica exigem cuidado redobrado com as condições de existência. Nesta questão do ITA, o logaritmo tem base (2-x) e argumento contendo uma raiz cúbica negativa. Além das restrições clássicas (base positiva e diferente de 1, argumento positivo), é preciso analisar o sinal do radicando para que o argumento seja positivo. A presença da raiz cúbica não impõe restrição de sinal (diferente da raiz quadrada), mas o sinal negativo externo inverte a condição. A resolução envolve estudo de domínio, comparação da base com 1 para decidir a direção da desigualdade, e solução de inequações do segundo grau. É um problema típico de pré-cálculo que testa domínio e manipulação algébrica.
Tópicos relacionados
- Condições de existência do logaritmo
- Inequação logarítmica com base variável
- Estudo do sinal de expressão quadrática
- Propriedades da raiz cúbica
- Comparação de logaritmos com mesma base
Enunciado
Determine o conjunto solução da inequação
$$\log_{2-x}\!\left(-\sqrt[3]{x^2 + 2x - 3}\right) > \log_{2-x}\!\left(\sqrt[3]{3}\right).$$
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Perguntas frequentes
Quais são as condições de existência de um logaritmo?
Para que log_b(a) exista, a base b deve ser positiva e diferente de 1, e o argumento a deve ser positivo.
Como resolver uma inequação logarítmica com base variável?
Primeiro, imponha as condições de existência. Depois, compare a base com 1: se base > 1, mantenha o sinal da desigualdade; se 0 < base < 1, inverta o sinal. Resolva a inequação resultante e interseccione com o domínio.
A raiz cúbica de um número negativo é real?
Sim, a raiz cúbica de um número real negativo é real e negativa. Ao contrário da raiz quadrada, não há restrição de sinal para o radicando.
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