Ano 2023#matematica#algebra-linear#sistemas-lineares#determinante#ita-fase2#fase2#discursiva

Sobre o tema

Este problema aborda sistemas lineares homogêneos e a condição para existência de soluções não triviais: o determinante da matriz dos coeficientes deve ser zero. A questão explora a relação entre os parâmetros reais positivos a e b que garantem essa condição, envolvendo cálculo de determinantes e resolução de sistemas lineares. É um tópico clássico em álgebra linear, essencial para concursos como o ITA.

Tópicos relacionados

Sistemas lineares homogêneos
Determinante de matriz 3x3
Solução não trivial
Parâmetros em sistemas lineares
Cálculo de determinantes com parâmetros

Enunciado

Sejam $a$ e $b$ números reais positivos. Considere o sistema linear nas incógnitas $x$, $y$ e $z$:
$$\begin{cases} -ax + by + az = 0 \\ b^2x + a^3y + 4a^2z = 0 \\ 4a^2x + a^3y + b^2z = 0 \end{cases}$$
Sabendo que esse sistema admite solução não trivial, determine $b$ em função de $a$. Determine o conjunto solução do sistema para $a = \dfrac{1}{2}$.

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Perguntas frequentes

O que significa um sistema linear homogêneo ter solução não trivial?

Significa que existe uma solução diferente da solução trivial (todas as variáveis zero). Isso ocorre quando o determinante da matriz dos coeficientes é zero, indicando que as equações são linearmente dependentes.

Como calcular o determinante de uma matriz 3x3 com parâmetros?

Utiliza-se a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. No caso de parâmetros, o determinante resulta em uma expressão algébrica que deve ser igualada a zero para encontrar relações entre os parâmetros.

Qual a importância dos sistemas lineares homogêneos em concursos?

São frequentes em questões de álgebra linear, exigindo domínio de cálculo de determinantes, escalonamento e interpretação geométrica (planos passando pela origem).