Questões do ITA

Determine o raio da circunferência circunscrita a um trapézio isóceles cujas bases e altura têm comprimentos $4$, $2$ e $3$, respectivamente.

Questao 1. O sistema de unidades atomicas de Hartree e bastante util para a descricao de sistemas quanticos microscopicos. Nele, faz-se com que a carga fundamental e, a massa do eletron m0, a constante eletrostatica do vacuo K0 e a constante de Planck reduzida sejam todas numericamente iguais a unidade. Assinale a alternativa que contem a ordem de grandeza do valor numerico da velocidade da luz no vacuo c, nesse sistema de unidades.

Dois avioes de combate, A e B, viajam a uma mesma altitude com velocidades constantes v_A = (100 m/s) i^ e v_B = (200 m/s) j^, respectivamente. As posicoes dos avioes no instante t = 0 s estao separadas por uma distancia D = 100 m. Devido ao funcionamento de sua turbina, o aviao A emite um som de frequencia caracteristica de 1000 Hz. A velocidade do som na regiao onde se encontram os avioes e de 300 m/s. Com base nessas informacoes, calcule: (a) a distancia minima entre os dois avioes ao longo do movimento; (b) a frequencia percebida no instante t = 0 s, pelo piloto do aviao B, devido ao som da turbina do aviao A.

Sejam dados os seguintes pares redox e seus respectivos potenciais padrão de eletrodo, a 25 °C. Semirreação | E° (V versus EPH) Mg²⁺ + 2e⁻ ⇌ Mg | -2,37 Al³⁺ + 3e⁻ ⇌ Al | -1,66 Cr³⁺ + 3e⁻ ⇌ Cr | -0,74 Fe²⁺ + 2e⁻ ⇌ Fe | -0,44 Pb²⁺ + 2e⁻ ⇌ Pb | -0,13 2H⁺ + 2e⁻ ⇌ H₂ | 0,00 Cu²⁺ + 2e⁻ ⇌ Cu | 0,34 Ag⁺ + e⁻ ⇌ Ag | 0,80 O₂ + 4H⁺ + 4e⁻ ⇌ 2H₂O | 1,23 Au³⁺ + 3e⁻ ⇌ Au | 1,50 Com base nessas informações, responda aos itens abaixo sobre a tendência à corrosão de metais em diferentes meios. a) Apresente os elementos metálicos listados na tabela em ordem decrescente (do maior para o menor) de tendência à corrosão. b) Se esses elementos metálicos forem mergulhados em uma solução desaerada de H₂SO₄ a 0,5 mol·L⁻¹, quais deles sofrerão corrosão? Justifique. c) Se a solução do item b) for aerada, a tendência à corrosão dos elementos metálicos será alterada? Se sim, quais sofrerão corrosão? Justifique. d) Se os elementos metálicos forem mergulhados em uma solução aquosa desaerada de NaOH a 1 mol·L⁻¹, quais deles sofrerão corrosão? Justifique. e) Se a solução do item d) for substituída por uma de NaOH a 0,1 mol·L⁻¹ e aerada, a tendência à corrosão dos elementos metálicos será alterada? Se sim, quais sofrerão corrosão? Justifique. Dado eventualmente necessário: log 2 = 0,3.

Três regiões industrializadas apresentaram as seguintes concentrações (em partes por milhão em volume) de óxidos gasosos em suas atmosferas: Região | Gás(es) presente(s) | Concentração (ppmv) R | CO₂ | 5,00 × 10² | NO₂ | 4,00 S | NO | 1,45 × 10¹ T | SO₂ | 2,00 × 10³ Sabe-se que a chuva ácida se refere à água da chuva com pH menor que 5,6 (equivale a [H⁺] > 2,5 × 10⁻⁶ mol·L⁻¹). Considere a pressão atmosférica igual a 1 atm e a formação apenas dos ácidos H₂CO₃, HNO₂ e H₂SO₃ na dissolução dos gases. a) Determine a concentração molar de H⁺ esperada para a água da chuva em cada uma das regiões. b) Organize as regiões em ordem crescente de pH esperado da água da chuva. c) Qual(is) região(ões) pode(m) sofrer os efeitos negativos de uma chuva ácida? Dados eventualmente necessários: KH (mol·atm⁻¹·L⁻¹) e Ka para cada substância: - CO₂: KH = 0,04; Ka1 = 4,5 × 10⁻⁷; Ka2 = 4,7 × 10⁻¹¹ - NO₂: KH = 0,01; Ka = 7,0 × 10⁻⁴ - NO: KH = 0,002 - SO₂: KH = 0,04; Ka1 = 1,2 × 10⁻²; Ka2 = 6,6 × 10⁻⁸

Questao 2. Um trem parte do repouso sobre uma linha horizontal e deve alcancar a velocidade de 72 km/h. Ate atingir essa velocidade, o movimento do trem tem aceleracao constante de 0,50 m/s^2, sendo que resistencias passivas absorvem 5,0% da energia fornecida pela locomotiva. O esforco medio, em N, fornecido pela locomotiva para transportar uma carga de 1,0 tonelada e

Uma pequena esfera de massa m e carga +q esta conectada por um fio inextensivel preso num ponto O e se move num circulo de raio r sobre um plano liso de inclinacao alfa com a horizontal. Na regiao existe um campo magnetico B uniforme e constante, perpendicular ao plano inclinado como ilustra a figura. Se a esfera possui uma velocidade v no ponto mais alto da trajetoria, determine a tracao no fio quando a esfera passa pelas posicoes D e E indicadas na figura. Considere o sentido de v indicado na figura.

Determine todos os valores do número real $a$ para os quais a matriz $$\begin{pmatrix} 1 & a^3 & -a & 3 & 2 \\ 2 & a^2 & 1 & a^3 & a \\ 0 & 0 & 0 & a & -a^2 \\ -a & 0 & 0 & 0 & 3 \\ a^2 & 0 & 0 & -3 & 0 \end{pmatrix}$$ é não singular.

Questao 3. Uma bola de gude de raio r e uma bola de basquete de raio R sao lancadas contra uma parede com velocidade horizontal v e com seus centros a uma altura h. A bola de gude e a bola de basquete estao na iminencia de contato entre si, assim como ambas contra a parede. Desprezando a duracao de todas as colisoes e quaisquer perdas de energia, calcule o deslocamento horizontal S da bolinha de gude ao atingir o solo. [Figura: diagrama com parede, bolas e trajetoria]

Um reator químico, projetado com uma válvula de alívio de pressão que é acionada a 8,5 atm, contém uma mistura gasosa composta por quantidades iguais de um reagente (A) e de uma substância inerte (B), a 10 °C e 2 atm. Ao elevar rapidamente a temperatura do reator para 293 °C, o reagente A começa a se decompor de acordo com a seguinte equação estequiométrica genérica: 2A(g) → 3C(g) + 4D(g) + E(g) Sabendo que a velocidade de consumo de A nessa temperatura é dada por νA = -0,25 × (PA)⁰ (em atm·h⁻¹), onde PA corresponde à pressão parcial da substância A, responda: a) Após quanto tempo de reação a válvula de alívio é acionada? b) Quais as pressões parciais de cada espécie (A, B, C, D e E) presente no reator no momento do acionamento da válvula de alívio? c) Assumindo 100% de rendimento da reação, qual a quantidade máxima de mistura gasosa que pode ser adicionada ao reator sem que a válvula de alívio seja acionada?

Considere dois corpos celestes esfericos e uniformes, de raios R_1 e R_2, massas m_1 e m_2, respectivamente, cujos centros encontram-se inicialmente em repouso, a uma distancia r_0. Devido a interacao gravitacional mutua, os corpos iniciam um movimento de aproximacao, que dura ate o choque entre eles. Determine as velocidades finais dos corpos na iminencia da colisao em funcao de G, r_0, seus raios e suas massas.

O primeiro termo de uma progressão geométrica de números reais é $1$ e a soma de seus primeiros $79$ termos é igual ao produto de seus primeiros $13$ termos. Determine: (a) a soma dos $40$ primeiros termos; (b) o produto dos $7$ primeiros termos.

Questao 4. Considere um sistema de tres satelites identicos de massa m dispostos nos vertices de um triangulo equilatero de lado d. Considerando somente o efeito gravitacional que cada um exerce sobre os demais, calcule a velocidade orbital dos satelites com respeito ao centro de massa do sistema para que a distancia entre eles permaneca inalterada.

Um maratonista de 80 kg corre meia hora, em local protegido do Sol, mantendo velocidade constante de 20 km/h. O trabalho exigido pelo exercicio, por unidade de massa e distancia, e de 0,60 kcal/(kg.km). Desconsiderando o efeito de ganho ou perda de calor por radiacao de corpo negro, faca o que se pede, levando em conta que 1,0 cal = 4,2 J. (a) Calcule o trabalho total dispendido, em kJ, no exercicio. (b) Define-se a eficiencia do exercicio como a razao entre o trabalho realizado e o custo metabolico total do exercicio, que e a energia total consumida pelo organismo. Considerando que a eficiencia da corrida descrita e de 60%, calcule o volume de agua que precisa ser evaporado para manter constante a temperatura do corpo do atleta.

Determine todos os pontos $(x, y)$ que pertencem à circunferência de centro $(5, 0)$ e raio $5$, que satisfazem a equação: $$\sqrt{3x - y - 4} = \sqrt{x^2 - 7x - 5y - 4}.$$

O poder calorífico é um indicativo do potencial energético dos combustíveis, sendo que a diferença entre o poder calorífico superior (PCS) e o poder calorífico inferior (PCI) equivale à energia necessária para a vaporização da água formada numa reação de combustão completa. Sabe-se que o PCS do metano é 55 MJ·kg⁻¹ e do etanol é 30 MJ·kg⁻¹ e que a entalpia de vaporização da água é ΔHvap = 44 kJ·mol⁻¹. a) Calcule os valores do PCI do metano e do etanol, em kJ·mol⁻¹. b) Sabendo que o gás natural é composto principalmente por metano e que os outros componentes possuem PCS muito inferiores ao deste gás, estime a porcentagem em massa de metano presente em um gás natural cujo PCS = 52 MJ·kg⁻¹. c) Explique por que o PCS do metano é muito superior ao do etanol.

Questao 5. Um recipiente, de seccao de area constante e igual a A, e preenchido por uma coluna de liquido de densidade rho e altura H. Sobre o liquido encontra-se um pistao de massa M, que pode se deslocar verticalmente livre de atrito. Um furo no recipiente e feito a uma altura h, de tal forma que um filete de agua e expelido conforme mostra a figura. Assinale a alternativa que contem o alcance horizontal D do jato de agua. [Figura: recipiente com pistao e jato de agua]

Determine as raízes comuns aos polinômios: $$p(x) = x^5 + x^4 - 8x^2 - 9x + 15 \quad \text{e} \quad q(x) = 3x^4 + 6x^3 + 13x^2 - 4x - 10.$$

Sulfeto de níquel é pouco solúvel em água, apresentando a constante do produto de solubilidade igual a Kps = 4 × 10⁻¹⁹. Ao adicionar 18,15 g desse sal a 1 L de água e, em seguida, ajustar o pH do meio com adição de ácido sulfúrico, observou-se a solubilização do sal com formação de ácido sulfídrico. Desprezando-se a variação de volume do meio reacional pela adição do ácido e dadas as constantes de ionização do ácido sulfídrico Ka1 = 1 × 10⁻⁷ e Ka2 = 1 × 10⁻¹⁴, determine: a) A constante de equilíbrio K da reação de solubilização do sulfeto de níquel em meio ácido. b) A faixa de valores de pH na qual todo o sulfeto de níquel é solubilizado. c) A porcentagem de sulfeto de níquel solubilizado quando o pH do meio for 3.

A figura mostra uma barra AB de comprimento L, articulada na extremidade A e presa a uma parede por um cabo BC. Na extremidade B da barra, suspende-se uma massa m por uma corda. O angulo entre o cabo BC e a barra e dado por theta_1, e o angulo entre a barra e a corda que suspende a carga e dado por theta_2, como mostra a figura. A barra, o cabo e a corda tem massas desprezíveis. Determine, em termos das grandezas fisicas envolvidas: (a) o angulo phi entre a barra AB e a forca F exercida pela articulacao sobre a barra; (b) a intensidade da forca F.

Um fio tem uma de suas extremidades presa ao teto e suspende um bloco de densidade rho = 10*rho_a, em que rho_a representa a densidade da agua. Na configuracao descrita, v_0 e a velocidade de propagacao de ondas mecanicas no fio. Em seguida, o bloco e mergulhado gradativamente em um recipiente contendo agua, ate ficar completamente submerso. Em nenhum momento o bloco toca as laterais e o fundo do recipiente. Denote por f a fracao do bloco submersa em agua. (a) Calcule a expressao da velocidade de propagacao v das ondas mecanicas no fio em funcao de f e v_0. (b) Esboce um grafico que descreva o comportamento de (v/v_0)^2 em funcao de f.

Questao 6. Um recipiente isolado e dividido em duas partes. A regiao A, com volume VA, contem um gas ideal a uma temperatura TA. Na regiao B, com volume VB = 2*VA, faz-se vacuo. Ao abrir um pequeno orificio entre as regioes, o gas da regiao A comeca a ocupar a regiao B. Considerando que nao ha troca de calor entre o gas e o recipiente, a temperatura de equilibrio final do sistema e

Considere a combustão de um determinado alceno com uma quantidade definida de ar em excesso. Considere, ainda, que o ar é composto apenas por nitrogênio e oxigênio numa proporção molar de 3,76 e que o nitrogênio não sofre oxidação durante a combustão. Para esta reação, determine a porcentagem do(s) gás(es) em cada uma das situações descritas abaixo. a) Na combustão incompleta do alceno com ar em excesso, além dos produtos esperados numa combustão completa, há a formação de monóxido de carbono na proporção molar de 1 para 8 em relação ao dióxido de carbono. Além disso, a quantidade em mol de O₂ que sobrou após a reação é igual à de carbono no início da reação. Com base nessas informações, determine a composição percentual aproximada dos gases resultantes da reação, considerando a remoção prévia da água. b) Determine o percentual de ar em excesso na reação de combustão completa do alceno.

Considere $z = a(\sqrt{3} + i) \in \mathbb{C}$, onde $a \in \mathbb{R}$. Determine todos os números reais $a$ para os quais $z^7$ e $z^{13}$ estão à mesma distância de $z$ no plano complexo.