Ano 2021#numeros-complexos#modulo

Sobre o tema

A questão aborda a minimização de uma combinação linear de números complexos com módulos constantes. O problema envolve otimização em ℝ, usando propriedades geométricas de pontos em um círculo de raio 4. A solução se baseia na interpretação vetorial da expressão e na aplicação da lei dos senos no triângulo formado pelos afixos. Este tipo de questão é comum em vestibulares militares como o IME, testando a capacidade de conectar álgebra linear e geometria analítica no plano complexo.

Tópicos relacionados

  • Interpretação geométrica de números complexos
  • Minimização de módulo de combinação linear
  • Lei dos senos em triângulos
  • Otimização com parâmetro real
  • Circunferência e cordas

Enunciado

Seja alfa em IR e z1, z2, z3 numeros complexos tais que |z1| = |z2| = |z3| = 4 e z1 diferente de z2. O menor valor de |alfaz1 - (alfa - 1)z2 - z3| e:

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Perguntas frequentes

Como minimizar |α z1 + β z2 + γ| com α real?

Escreva a expressão como |α u + v|, onde u e v são constantes complexas. O mínimo sobre α é a distância do ponto v à reta gerada por u, dada por |v| sinθ, onde θ é o ângulo entre u e v.

Qual a relação entre a lei dos senos e módulos de números complexos?

Se três números complexos têm mesmo módulo R, seus afixos estão sobre um círculo de raio R. Num triângulo inscrito, lados são cordas e a lei dos senos fornece: lado = 2R sen(ângulo oposto).

Por que o módulo de z1, z2, z3 ser igual a 4 é relevante?

Isso garante que os pontos estão na circunferência de raio 4, permitindo usar propriedades geométricas como lei dos senos e relações entre cordas e ângulos centrais.

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