Ano 2024#matematica#bases-numericas#combinatoria

Sobre o tema

Números palíndromos são aqueles cuja representação em uma determinada base é simétrica, ou seja, lida da mesma forma da esquerda para a direita e vice-versa. Na base binária, todo número natural não nulo começa com o algarismo 1, o que impõe restrições importantes na contagem de palíndromos. O estudo desses números envolve conceitos de sistemas de numeração, conversão entre bases e análise combinatória. Compreender como contar palíndromos binários dentro de um intervalo é essencial para resolver problemas de competições como o IME, onde a precisão na conversão e na contagem é crucial.

Tópicos relacionados

Números palíndromos em diferentes bases
Conversão entre bases numéricas
Contagem de palíndromos binários
Análise combinatória aplicada a números
Propriedades de simetria em sistemas de numeração

Enunciado

Numeros palindromos na base b sao numeros cuja representacao nesta base e simetrica, ou seja, se os seus algarismos forem lidos de tras para frente obtem-se o mesmo numero. A quantidade de numeros naturais positivos menores ou iguais a (377)_8 que sao palindromos na base dois e: [Observacao: Considere que todo numero nao nulo na base 2 comeca por 1.]

Alternativas

A)
16
B)
26
C)
30
D)
31
E)
32

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Perguntas frequentes

Como identificar um número palíndromo na base binária?

Um número binário é palíndromo se sua sequência de dígitos é a mesma quando lida de trás para frente. Como todo número binário não nulo começa com 1, um palíndromo binário também termina com 1, sendo sempre ímpar.

Qual a relação entre palíndromos binários e a conversão para outras bases?

A palindromicidade depende da base. Um número que é palíndromo em uma base pode não ser em outra. Por isso, para contar palíndromos em base 2 até um limite dado em outra base, primeiro converte-se o limite para a base desejada.

Como contar palíndromos binários de um determinado comprimento?

Para comprimento L, o primeiro e o último dígitos são fixos em 1. Se L é par (L=2k), os k-1 dígitos internos da primeira metade são livres, gerando 2^(k-1) palíndromos. Se L é ímpar (L=2k+1), há k dígitos livres (k-1 da primeira metade mais o dígito central), totalizando 2^k palíndromos.