Sobre o tema
A função f(x) = log(x + √(x² + 1)) é um exemplo clássico de função ímpar e estritamente crescente, conhecida como arco seno hiperbólico (arsenh). Ela está definida para todos os reais, pois x + √(x² + 1) > 0 para todo x. Sua importância reside em aplicações na geometria hiperbólica, cálculo integral e equações diferenciais. No contexto de concursos militares como o IME, questões sobre paridade e raízes de funções logarítmicas são frequentes. Esta questão testa propriedades fundamentais: simetria, monotonicidade e a existência de zeros.
Tópicos relacionados
- Funções pares e ímpares
- Logaritmo natural e domínio
- Raízes de funções logarítmicas
- Propriedades da função arco seno hiperbólico
Enunciado
: 0,25
A soma dos inversos das solu��es inteiras da equa��o 19
x23 (E)
2 x 3 =0
23x 30
� 19 (C) -15 (D) 15 Valor: 0,25
(B) -
(A) 0
30
8� QUEST�O
Seja f : R - R definida como f (x) = log(x + x2 + 1). Ent�o:
(A) f (x) � uma fun��o par.
(B) f (x) � uma fun��o �mpar.
(C) f (2x) > f (x) para todo x = 0.
(D) f (x) tem duas ra�zes reais.
(E) f (x) n�o tem raiz real.
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Perguntas frequentes
Como verificar se uma função logarítmica é par ou ímpar?
Substitua x por -x e compare com f(x). Se f(-x) = f(x), é par; se f(-x) = -f(x), é ímpar. No caso de f(x) = log(x + √(x²+1)), temos f(-x) = -f(x), mostrando que é ímpar.
A função arco seno hiperbólico tem raízes reais?
A equação f(x) = 0 implica x + √(x²+1) = 1, o que resulta em x = 0. Portanto, há uma única raiz real em x = 0.
Qual a relação entre f(x) = log(x + √(x²+1)) e a função seno hiperbólico?
Essa função é a inversa do seno hiperbólico (arsenh). Ela satisfaz a identidade f(senh(t)) = t e senh(f(x)) = x.