Questões do IME

O menor numero natural impar que possui o mesmo numero de divisores que 1800 esta no intervalo:

Seja uma regiao S no plano complexo que consiste em todos os pontos Z tais que Z/20 e 20/Z_conjugado possuem partes real e imaginaria entre 0 e 1, inclusive. Determine a area da regiao S. Obs: Z_conjugado e o conjugado do numero complexo Z.

Determine a massa de hidrogenio ionizado em 1 L de uma solucao 0,1 molar de um acido monoprotico em agua com constante de ionizacao igual a 1,69 x 10^-3.

Considere a reacao de decomposicao da nitramida em solucao aquosa: NH2NO2(aq) -> N2O(g) + H2O(l) Sabendo-se que a lei de velocidade, determinada experimentalmente, e dada pela expressao v = k*[NH2NO2]/[H3O+], foram propostos tres possiveis mecanismos para a reacao: MECANISMO I: NH2NO2 + H2O <-> NHNO2- + H3O+ (equilibrio rapido) NHNO2- -> N2O + OH- (etapa lenta) H3O+ + OH- -> 2H2O (etapa rapida) MECANISMO II: NH2NO2 -> N2O + H2O (etapa elementar) MECANISMO III: NH2NO2 + H3O+ <-> NH3NO2+ + H2O (equilibrio rapido) NH3NO2+ -> N2O + H3O+ (etapa lenta) Com base nas informacoes acima, determine se cada mecanismo proposto e compativel com a expressao da velocidade experimental, fundamentando suas respostas.

Uma particula, inicialmente em repouso sobre o plano horizontal XY, esta presa a duas molas identicas, cada uma solidaria em sua outra extremidade a um cursor que pode movimentar-se sobre seu respectivo eixo, como mostrado na figura. As molas sao rigidas o suficiente para se deflexionarem apenas nas direcoes ortogonais de seus respectivos eixos aos quais estao presas. No instante t = 0, a particula e puxada para o ponto de coordenadas (11/10 L, 12/10 L) e e lancada com velocidade inicial (raiz(3)/10 * omega * L, 0). Determine: a) as equacoes das componentes de posicao, velocidade e aceleracao da particula nos eixos X e Y, em funcao do tempo; b) a area no interior da trajetoria percorrida pela particula durante o movimento.

Os modelos de placas de identificacao de automoveis adotadas no Brasil estao sendo atualizados. Atualmente, o modelo antigo ABC1234 (tres letras seguidas de quatro algarismos) esta sendo gradativamente substituido pelo modelo novo ABC1D23 (tres letras seguidas de um algarismo, uma letra e dois algarismos). Placas de modelos distintos podem apresentar sequencias de caracteres alfanumericos iguais. Por exemplo, a sequencia de caracteres '20' aparece nas combinacoes IME2020 e BRA5P20, enquanto a sequencia 'A12' aparece nas combinacoes BRA1234 e IME4A12. Considere a placa do modelo antigo IME2019. Seja P o conjunto de placas do modelo novo que podem ser formadas com alguma sequencia de tres caracteres em comum com a placa IME2019. Determine o numero de elementos de P. Por exemplo, IME4A12 e BRA5E20 pertencem ao conjunto P. IMP5E19 nao pertence ao conjunto P. Obs: considere o alfabeto com 26 letras.

Considere os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4} e B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Seja F o conjunto de funcoes cujo dominio e A e cujo contradominio e B. Escolhendo-se ao acaso uma funcao f de F, a probabilidade de f ser estritamente crescente ou ser injetora e:

Em um jogo, Joao e Maria possuem cada um tres dados nao viciados com seis faces numeradas de 1 a 6. Cada um lancara os seus dados, sendo Joao o primeiro a lancar. O vencedor sera aquele que obtiver o maior numero de dados com resultados iguais. Em caso de empate, vencera aquele que tiver o maior numero nos dados de igual resultado. Se ainda houver empate, nao havera vencedor. Suponha que Joao obteve apenas dois dados com mesmo resultado. Qual e a probabilidade de Maria vencer o jogo?

Um tubo rigido aberto nas extremidades, com secao reta de area constante, e preenchido com um fluido de massa especifica mu1 ate alcançar a altura h1. O tubo e lacrado em uma das extremidades, conforme ilustra a Figura 1, imediatamente acima de uma valvula, que se encontra fechada, de modo que a coluna de ar tambem tenha altura h1 e esteja com a mesma pressao atmosferica externa. A haste da valvula mantem presa uma esfera que se ajusta bem ao duto de saida, com secao reta Sd circular. Um segundo fluido, de massa especifica mu2 < mu1, e lentamente colocado na extremidade aberta ate formar uma coluna de altura h2, conforme mostra a Figura 2. Em determinado instante, a valvula e subitamente aberta, liberando a esfera, que e impulsionada pelo ar comprimido por um breve intervalo de tempo Delta_t, ate atingir o ponto P. A esfera percorre o trajeto dentro do duto ate alcançar uma mola, de constante elastica k, que se deforma Delta_x. Com relacao a situacao apresentada, determine: a) a pressao da coluna confinada de ar, em N/m^2, supondo a temperatura constante, apos a insercao do segundo fluido e antes da abertura da valvula; b) a forca de atrito media a partir do ponto P, em N, que age na esfera em sua trajetoria ate alcançar a mola.

Os compostos A e B sofrem Esterificacao de Fischer para produzir exclusivamente ester (C7H14O2) e agua. Sabendo que o composto A tem um atomo de carbono a menos que o composto B e que o atomo de oxigenio da agua formada nao provem do composto B, apresente as formulas estruturais planas de todos os esteres que possam ser formados nessas condições.

Sabe-se que S = x + y + z, onde x, y e z sao solucoes inteiras do sistema: x = 3*sqrt(2)*y^2 / 2; y = e^(2*ln(x)); log_2(y) + log_x(z) = (x + 3). O valor de S e:

Na figura abaixo, e mostrado o diagrama de fases Temperatura versus Composicao (fracao molar) de dois liquidos volateis, hexano (P.E. = 69 graus C) e octano (P.E. = 126 graus C), para a pressao de 1 atm. [Diagrama com curvas de liquido e vapor entre X_octano = 0 (69 graus C) e X_octano = 1 (126 graus C)] Considere uma mistura binaria liquida ideal de hexano e octano, contendo 20% de hexano. Quando essa mistura e aquecida, ela entra em ebulicao, possibilitando a marcacao do ponto A, que representa o liquido alfa em ebulicao e o ponto B, que representa o vapor beta gerado pela vaporizacao do liquido alfa. Considere, agora, que o vapor beta seja condensado e em seguida vaporizado, gerando o vapor gama. Com base nessas informacoes, determine a: a) composicao no ponto B; b) temperatura aproximada de ebulicao da mistura liquida de partida que contem 20% de hexano; c) composicao do liquido formado pela condensacao do vapor beta; d) composicao do vapor gama.

Uma particula de massa m e carga eletrica positiva +q e lancada obliquamente com inclinacao alfa em t = 0, no plano z = z0, a uma velocidade inicial v0 a partir da altura y = h0, conforme ilustra a figura. Em determinado instante de sua trajetoria, a particula e submetida a um campo magnetico uniforme B = (0, B, 0), cuja intensidade varia ao longo do tempo de acordo com o grafico. Sabendo que tf representa o instante em que a particula encerra seu movimento no ponto D de coordenadas (xD, 0, 0), ao atingir o plano xz; que A e C designam as posicoes da particula, respectivamente, em t = tf - 5 s e t = tf - 2 s; e que a resistencia do ar pode ser desprezada, responda o que se pede: a) faca um esboce do grafico da altura y da particula versus o tempo t, desde seu lancamento ate alcançar o ponto D, explicitando a altura maxima alcancada, a do ponto A e a do ponto C, com os correspondentes tempos; b) determine as coordenadas xC e zC do ponto C.

Seja A = {z pertence a C | 2 <= |z - 3 - 4i| <= 3}, onde C e o conjunto dos numeros complexos. O valor do produto entre o simetrico do complexo de menor modulo do conjunto A e o conjugado do complexo de maior modulo do mesmo conjunto A e:

Uma matriz A e semelhante a uma matriz B se e somente se existe uma matriz invertivel P tal que A = P B P^(-1). a) Se A e B forem semelhantes, mostre que det(A) = det(B). b) Dadas C = [[4, 2], [3, 5]] e D = [[8, -2], [3, 1]], verifique se essas matrizes sao semelhantes.

Um polinomio P(x) de grau maior que 3 quando dividido por (x-2), (x-3) e (x-5) deixa restos 2, 3 e 5, respectivamente. O resto da divisao de P(x) por (x-2)(x-3)(x-5) e:

Um feixe de luz monocromatica de secao reta de area A vindo de um meio com indice de refracao n1 = 2 incide na superficie de separacao entre dois meios. O angulo de incidencia e igual a theta1 = 45 graus em relacao a normal de separacao com o outro meio, cujo indice de refracao e n2. O feixe incidente separa-se em feixe refletido e feixe transmitido (refratado). Calcule o valor numerico do indice de refracao n2.

Sabendo que i^2 = -1, encontre todos os valores reais de x que satisfazem a seguinte inequacao: Re{ (2^(log_2(sen(x))) + 1) / (i * (e^(2ix) - 2cos^2(x) + 1)) } > 0, onde Re{Z} e a parte real do numero complexo Z.

O cloro comercial e comumente usado na maioria das piscinas com o objetivo de eliminar microrganismos. Uma das formas de aplica-lo na agua da piscina e a partir da adicao de compostos contendo o ion hipoclorito ou de acido tricloroisocianúrico (tricloro), que reage com a agua, formando acido hipocloroso e acido cianúrico. A soma das concentracoes do acido hipocloroso e do ion hipoclorito e chamada de 'cloro livre'. O acido hipocloroso e oito vezes mais eficiente como agente biocida do que o ion hipoclorito. O pH otimo para aplicacao em piscinas e de 7,5. Sem o acido cianúrico, a meia-vida do cloro livre e de 17 min. A adicao do tricloro faz com que a perda de cloro livre ocorra a uma taxa de 15% por dia. O teor maximo recomendado de acido cianúrico para piscinas e de 100 ppm. Os teores do acido hipocloroso e do ion hipoclorito devem ser mantidos, individualmente, entre 0,25 e 2,5 ppm. Em uma piscina residencial de 5000 L, foram medidos um pH de 8,5 e um teor de cloro livre de 0,5 ppm. Adicionaram-se entao 23,25 g de tricloro, ajustando-se o pH para o valor otimo. Com base nas informacoes acima: a) determine se, apos essa adicao, a piscina estara em condicoes de uso. b) calcule em quantos dias o limite minimo de cloro livre sera atingido, caso a piscina nao seja mais usada. Dados: log(73) = 1,863; log(17) = 1,230; log(5) = 0,699.

Um recipiente de vidro contendo gas tem uma lente convergente e uma fonte sonora presas a um suporte (A) que desliza no trilho (B) a velocidade constante. Um feixe laser (C), que ilumina o objeto (D), forma imagens reais nitidas por duas vezes em (E), separadas por uma diferenca de tempo Delta_t, sendo que, entre a formacao dessas duas imagens, chegam n bips (pulsos sonoros de mesma duracao) no detector (F) e n - 1 bips sao emitidos pela fonte sonora. Considerando que o comprimento do recipiente e L e a distancia focal da lente e f, determine a velocidade do som no gas.

Um inteiro positivo e escrito em cada uma das seis faces de um cubo. Para cada vertice, e calculado o produto dos numeros escritos nas tres faces adjacentes. Se a soma desses produtos e 1105, a soma dos seis numeros das faces e:

Um minerio de ferro, contendo Fe3O4, foi analisado a partir da dissolucao de uma amostra de massa 1,161 g em acido. Na dissolucao, todo o ferro proveniente do Fe3O4 foi reduzido a Fe2+. A seguir, a amostra foi titulada com 40 mL de uma solucao 0,025 mol/L de KMnO4, tendo como produtos Mn2+ e Fe3+. Diante do exposto: a) escreva a equacao ionica global simplificada de oxirreducao, balanceada, ocorrida na titulacao; b) determine a porcentagem em massa de Fe3O4 no minerio.

Seja 1/b = sen(pi/14) . sen(3*pi/14) . sen(5*pi/14). Determine b, onde b pertence ao conjunto dos numeros inteiros nao nulos.

Uma progressao geometrica e formada com os numeros naturais A, B e C, nessa ordem. O log(A) possui a mesma mantissa M do log(B) e C e a caracteristica do log(A). Sabe-se que M = log(C) e que C possui o maior valor possivel. O valor da mantissa do log(ABC) e: