Ano 2019#teoria-dos-numeros#divisores#numeros-naturais

Sobre o tema

A teoria dos números estuda propriedades dos números inteiros, como a quantidade de divisores. O número 1800 tem 36 divisores, e encontrar o menor número natural ímpar com essa mesma quantidade exige decomposição em fatores primos e combinação de expoentes. Esse tipo de problema é comum em concursos militares como o IME, testando raciocínio combinatório e conhecimento de números primos.

Tópicos relacionados

  • Teoria dos números
  • Quantidade de divisores
  • Decomposição em fatores primos
  • Menor número ímpar com número fixo de divisores
  • Produto de expoentes mais um

Enunciado

O menor numero natural impar que possui o mesmo numero de divisores que 1800 esta no intervalo:

Alternativas

  • A)

    [1, 16000]

  • B)

    [16001, 17000]

  • C)

    [17001, 18000]

  • D)

    [18001, 19000]

  • E)

    [19001, +infinito)

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Perguntas frequentes

Como calcular o número de divisores de um número a partir de sua fatoração?

Se um número é decomposto em primos como n = p1^e1 p2^e2 ... pk^ek, o número de divisores é (e1+1)(e2+1)...(ek+1).

Por que o menor número ímpar com 36 divisores não pode ter o fator 2?

Para ser ímpar, o número não pode ter o fator primo 2. Assim, todos os seus fatores primos são ímpares, e a busca se restringe a combinações de primos ímpares.

Qual a importância de ordenar as combinações de expoentes para encontrar o menor número?

Atribuir os maiores expoentes aos menores primos (como 3, 5, 7, 11) minimiza o valor final. Por isso, testamos combinações com expoentes decrescentes e primos crescentes.

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