Ano 2019#combinatoria#principio multiplicativo#contagem#fase2#discursiva

Sobre o tema

Esta questão do IME 2019 aborda contagem de placas de automóveis com restrições de sequências de caracteres. O problema envolve o princípio multiplicativo e o princípio da inclusão-exclusão para determinar quantas placas do novo modelo (3 letras, 1 algarismo, 1 letra, 2 algarismos) compartilham uma sequência de três caracteres consecutivos com a placa antiga IME2019 (3 letras, 4 algarismos). A resolução exige identificar as possíveis substrings comuns e calcular o número de placas que as contêm, considerando sobreposições. É um exemplo clássico de contagem com restrições posicionais, útil para vestibulares e concursos.

Tópicos relacionados

  • Princípio multiplicativo de contagem
  • Princípio da inclusão-exclusão
  • Contagem com restrições posicionais
  • Subsequências contíguas em strings
  • Combinação de letras e algarismos

Enunciado

Os modelos de placas de identificacao de automoveis adotadas no Brasil estao sendo atualizados. Atualmente, o modelo antigo ABC1234 (tres letras seguidas de quatro algarismos) esta sendo gradativamente substituido pelo modelo novo ABC1D23 (tres letras seguidas de um algarismo, uma letra e dois algarismos). Placas de modelos distintos podem apresentar sequencias de caracteres alfanumericos iguais. Por exemplo, a sequencia de caracteres '20' aparece nas combinacoes IME2020 e BRA5P20, enquanto a sequencia 'A12' aparece nas combinacoes BRA1234 e IME4A12. Considere a placa do modelo antigo IME2019. Seja P o conjunto de placas do modelo novo que podem ser formadas com alguma sequencia de tres caracteres em comum com a placa IME2019. Determine o numero de elementos de P. Por exemplo, IME4A12 e BRA5E20 pertencem ao conjunto P. IMP5E19 nao pertence ao conjunto P. Obs: considere o alfabeto com 26 letras.

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Perguntas frequentes

Como aplicar o princípio multiplicativo em problemas de contagem?

O princípio multiplicativo diz que se uma escolha pode ser feita de m maneiras e outra de n maneiras, então as duas juntas podem ser feitas de m × n maneiras. Em placas, multiplica-se o número de opções para cada posição.

O que é o princípio da inclusão-exclusão?

É uma técnica para contar a união de conjuntos: soma os tamanhos dos conjuntos individuais e subtrai as interseções para evitar dupla contagem. Exemplo: |A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|.

Como identificar substrings comuns em problemas de sequências?

Liste todas as substrings contíguas de tamanho fixo da string original. Depois verifique quais podem aparecer nas novas sequências, respeitando as restrições de formato (letra ou dígito) e posição.

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