Ano 2024#matematica#numeros-complexos#series-geometricas#modulo#convergencia#fase2#discursiva

Sobre o tema

Esta questão aborda a teoria de séries geométricas no contexto dos números complexos, especificamente a condição de convergência e a determinação de regiões no plano complexo definidas por desigualdades envolvendo módulos. A série geométrica ∑ r^n converge para |r|<1, e sua soma é r/(1−r). Aqui, r = |(z−1)/(z+1)|, e a condição dada impõe um limite superior para essa razão, resultando em um disco de Apolônio. O problema pede o valor máximo de |z| para z nessa região, que é encontrado analisando a geometria do disco, um círculo centrado no eixo real. A resposta final, 2k−1, destaca a relação entre o parâmetro k e o raio máximo a partir da origem.

Tópicos relacionados

Séries geométricas em números complexos
Módulo de números complexos
Círculo de Apolônio no plano complexo
Desigualdades com módulos e regiões
Máximo módulo em um disco

Enunciado

Q: O que é um círculo de Apolônio?

É o conjunto de pontos cuja razão das distâncias a dois pontos fixos é constante. No plano complexo, |z−a|/|z−b| = c (c>0, c≠1) define um círculo. Nesta questão, a = 1, b = −1, c = (k−1)/k.

Considere o seguinte subconjunto A do conjunto dos numeros complexos C:

A = { z em C | sum_{n=1}^{inf} |(z - 1)/(z + 1)|^n <= k - 1 },

onde k > 1 e um numero real dado. Determine o valor maximo de |z| para z em A.

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Perguntas frequentes

Como determinar a convergência de uma série geométrica de números complexos?

Uma série geométrica ∑_{n=0}∞ z^n converge se e somente se |z|<1. Neste caso, a soma é 1/(1−z). Para séries que começam em n=1, a soma é z/(1−z).

O que é um círculo de Apolônio?

É o conjunto de pontos cuja razão das distâncias a dois pontos fixos é constante. No plano complexo, |z−a|/|z−b| = c (c>0, c≠1) define um círculo. Nesta questão, a = 1, b = −1, c = (k−1)/k.

Como encontrar o ponto de máximo módulo em um disco do plano complexo?

O ponto de um disco com maior distância à origem está sobre a reta que passa pela origem e pelo centro do disco, na extremidade mais afastada. Basta somar a distância do centro à origem com o raio.