Ano 2023#matematica

Sobre o tema

O problema envolve a relação entre os lados de um triângulo e as áreas de círculos cujos diâmetros são esses lados. Uma construção clássica, baseada no teorema de Pitágoras, mostra que em um triângulo retângulo a área do círculo sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos círculos sobre os catetos. Generalizando, para um triângulo qualquer, a comparação entre a área do círculo sobre um lado e a soma das áreas sobre os outros dois depende do ângulo oposto a esse lado. Utilizando a lei dos cossenos, a condição área do círculo sobre um lado maior que a soma das áreas dos outros dois implica que o lado ao quadrado é maior que a soma dos quadrados dos outros dois, o que ocorre apenas quando o ângulo oposto é obtuso (entre 90° e 180°). Este princípio é aplicado em um contexto lúdico de pizzas, onde o professor determina, pela abertura do ângulo formado pelos diâmetros, se sua pizza tem área maior que a soma das áreas dos amigos.

Tópicos relacionados

  • Lei dos cossenos e triângulos
  • Relação entre áreas de círculos e lados
  • Classificação de ângulos em triângulos
  • Teorema de Pitágoras generalizado

Enunciado

Sejam _a_, _b_ e _c_ as medidas dos lados de um triângulo retângulo, tendo a como medida da hipotenusa. Esses valores _a_, _b_ e _c_ são, respectivamente, os diâmetros dos círculos _C1_ , _C2_ e _C3_, como apresentados na figura.

![](https://enem.dev/2023/questions/172/dcdd2743-6ad6-44e8-94ae-d2adec3a3400.png)

Observe que essa construção assegura, pelo teorema de Pitágoras, que área (C1) = área (C2) + área (C3).

Um professor de matemática era conhecedor dessa construção e, confraternizando com dois amigos em uma pizzaria onde são vendidas pizzas somente em formato de círculo, lançou um desafio: mesmo sem usar um instrumento de medição, poderia afirmar com certeza se a área do círculo correspondente à pizza que ele pedisse era maior, igual ou menor do que a soma das áreas das pizzas dos dois amigos. Assim, foram pedidas três pizzas. O professor as dividiu ao meio e formou um triângulo com os diâmetros das pizzas, conforme indicado na figura.

![](https://enem.dev/2023/questions/172/8bd02f79-d5fb-4b8d-9321-c57434be3374.png)

A partir da medida do ângulo a, o professor afirmou que a área de sua pizza é maior do que a soma das áreas das outras duas pizzas.

A área da pizza do professor de matemática é maior do que a soma das áreas das outras duas pizzas, pois

Alternativas

  • A)

    0° < a < 90°

  • B)

    A = 90°

  • C)

    90° < a < 180°

  • D)

    A = 180°

  • E)

    180° < a < 360°

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Perguntas frequentes

Qual a condição para que a área do círculo sobre um lado de um triângulo seja maior que a soma das áreas sobre os outros dois?

A condição é que o ângulo oposto a esse lado seja obtuso, ou seja, maior que 90° e menor que 180°.

Como a lei dos cossenos se relaciona com a comparação de áreas de círculos?

A lei dos cossenos expressa o quadrado de um lado em função dos outros dois e do cosseno do ângulo oposto. Como a área do círculo é proporcional ao quadrado do diâmetro, comparar áreas equivale a comparar quadrados dos lados.

Por que o ângulo de 90° resulta em igualdade das áreas?

Para um ângulo reto (90°), a lei dos cossenos reduz ao teorema de Pitágoras, e a área do círculo sobre a hipotenusa é exatamente igual à soma das áreas sobre os catetos.

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