Ano 2023#mathematics

Sobre o tema

As transformações de Möbius são funções racionais da forma (ax+b)/(cx+d) e possuem aplicações em computação gráfica e processamento de sinais. Quando aplicadas recursivamente, podem gerar sequências periódicas. Neste problema, a função f(x)=(x+1)/(x-1) define uma sequência que se repete a cada dois termos, permitindo calcular a soma de um grande número de termos de forma simples.

Tópicos relacionados

  • Transformações de Möbius
  • Sequências definidas por recorrência
  • Funções racionais
  • Periodicidade de sequências
  • Soma de termos de uma sequência

Enunciado

Leia o texto a seguir para responder á questão.
Uma transformação de Möbius é um quociente de polinômios
de grau 1. Essas transformações são muito importantes em
computação gráfica e também na área da engenharia conheci-
da como “processamento de sinais”.
Considere a função

y = f (x) = ([x+1]/[x-1]),
definida para x∈R, x ≠ 1, que é uma versão simplificada de
uma transformação de Möbius.
Considere a sequência x1 ,x2 ,..., definida por x1 = 6, e para
cada n ≥1, temos xn+1 = f (xn ), ou seja,
x1 = 6,
x2 = f (x1) = 7/5,
x3 = f (x2),
e assim sucessivamente. Então, a soma dos 100 primeiros ter-
mos desta sequência vale

Alternativas

  • A)

    140

  • B)

    370

  • C)

    600

  • D)

    740

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Perguntas frequentes

O que é uma transformação de Möbius?

É uma função da forma f(x) = (ax+b)/(cx+d), com a,b,c,d reais e ad-bc ≠ 0. Ela mapeia o plano complexo estendido nele mesmo e é usada em geometria, computação gráfica e processamento de sinais.

Como verificar se uma sequência recorrente é periódica?

Calcula-se alguns termos iniciais. Se um termo se repete, a sequência é periódica a partir daí. No caso, x1=6, x2=7/5, x3=6, então o período é 2.

Qual a importância das transformações de Möbius no processamento de sinais?

Elas são usadas em filtros digitais e na transformada bilinear, que mapeia o plano s para o plano z, essencial para projetar filtros discretos a partir de filtros analógicos.

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