Ano 2022#mathematics

Sobre o tema

Sistemas lineares e matrizes são fundamentais na álgebra linear, com aplicações em engenharia, computação e ciências. Este problema aborda a análise de um sistema linear representado por uma matriz simétrica obtida da soma de uma matriz com sua transposta. A determinação de soluções únicas, infinitas ou inexistentes depende do valor de um parâmetro k, e envolve o cálculo do determinante e a verificação da consistência das equações. Compreender esses conceitos é essencial para resolver problemas que modelam fenômenos físicos e otimização.

Tópicos relacionados

Sistemas lineares e matrizes
Matriz transposta e simetria
Determinante e classificação de sistemas
Consistência de sistemas lineares
Parâmetros em sistemas lineares

Enunciado

Considere a matriz
A=[[1,k],[3,k^2]] e
e seja B= A + A^T , onde A^T é a transposta da matriz A.
Sobre o sistema
B*[[x],[y]]=[[2021],[2022]]
é correto afirmar que

Alternativas

A)
se k=0, o sistema não tem solução.
B)
se k = -1, o sistema tem infinitas soluções.
C)
se k = -1, o sistema não tem solução.
D)
se k = 3, o sistema tem infinitas soluções.

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Perguntas frequentes

O que é uma matriz simétrica?

Uma matriz quadrada é simétrica quando é igual à sua transposta, ou seja, A = A^T. Isso implica que os elementos simétricos em relação à diagonal principal são iguais.

Como saber se um sistema linear tem solução única?

Um sistema linear Ax = b tem solução única se a matriz A for invertível, ou seja, seu determinante for não nulo. Caso contrário, pode ter infinitas soluções ou nenhuma, dependendo da consistência.

O que significa um sistema ser inconsistente?

Um sistema linear é inconsistente quando não possui solução. Isso ocorre quando as equações são contraditórias, geralmente detectado por uma linha nula na matriz aumentada com termo independente não nulo.