Ano 2018#mathematics

Sobre o tema

A divisão de polinômios é um tópico fundamental em álgebra, relacionado ao teorema do resto e à fatoração. Quando um polinômio p(x) é dividido por q(x), obtém-se um quociente e um resto. Se ambos são iguais, uma relação especial surge: p(x) = q(x) Q(x) + R(x) com Q = R. Isso implica que p(x) = (q(x) + 1) Q(x). No caso de Q(x) = x² + 1, que possui raízes complexas (i e -i), p(x) herda essas raízes. Esse tipo de problema testa a compreensão das propriedades de polinômios com coeficientes reais e a relação entre suas raízes.

Tópicos relacionados

  • Divisão de polinômios e teorema do resto
  • Raízes complexas em polinômios reais
  • Fatoração de polinômios
  • Grau de polinômios na divisão

Enunciado

Sejam p(x) e q(x) polinômios com coeficientes reais.
Dividindo-se p(x) por q(x), obtém-se quociente e resto
iguais a x^2 + 1.Nessas condições,
correto afirmar que

Alternativas

  • A)

    o grau de p(x) menor que 5.

  • B)

    o grau de q(x) menor que 3.

  • C)

    p(x) tem raízes complexas.

  • D)

    q(x) tem raízes reais.

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Perguntas frequentes

O que diz o teorema do resto na divisão de polinômios?

O teorema do resto afirma que, ao dividir um polinômio p(x) por (x - a), o resto é igual a p(a). Esse resultado é útil para verificar se um número é raiz do polinômio.

Por que um polinômio com coeficientes reais pode ter raízes complexas?

Polinômios com coeficientes reais podem ter raízes complexas que aparecem em pares conjugados. Por exemplo, x² + 1 = 0 tem raízes i e -i, ambas complexas e conjugadas.

Como o grau do quociente e do resto se relaciona com o grau do divisor?

Na divisão de p(x) por q(x) não nulo, o grau do resto é sempre menor que o grau do divisor. O grau do quociente é igual ao grau de p(x) menos o grau de q(x), se ambos forem polinômios.

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