Sobre o tema
Este problema de números complexos do ITA 2024 explora a condição para que potências de dois números complexos sejam iguais. Números complexos podem ser representados na forma algébrica (a+bi) ou polar (módulo e argumento). A igualdade a^m = b^m requer que os módulos sejam iguais e que os argumentos difiram por um múltiplo inteiro de 2π/m. No caso, calcula-se a razão a/b, que resulta em um número complexo de módulo 1 e argumento π/6. Assim, a^m = b^m implica e^{imπ/6}=1, levando a m múltiplo de 12. O menor natural m é 12. Este tipo de questão é comum em vestibulares militares e exige domínio de operações com complexos e trigonometria.
Tópicos relacionados
- Igualdade de potências de complexos
- Forma polar e argumento de números complexos
- Razão entre números complexos
- Condição de módulo e argumento para igualdade
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Enunciado
Sejam a = 1 + 3 3i e b = 2 3 + 4i n�meros complexos. O menor valor m N
tal que am = bm �:
A ( ) 6. D ( ) 12.
B ( ) 8. E ( ) n�o existe m N satisfazendo esta
C ( ) 10. igualdade.
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Perguntas frequentes
O que significa a^m = b^m para números complexos?
Significa que os números complexos a e b, elevados à mesma potência m, resultam no mesmo valor. Isso impõe condições sobre seus módulos e argumentos.
Como encontrar a razão a/b de dois números complexos?
Multiplica-se numerador e denominador pelo conjugado do denominador. Exemplo: (a+bi)/(c+di) = (a+bi)(c-di)/(c^2+d^2).
Qual a importância do argumento na igualdade de potências?
Se os módulos são iguais, a igualdade a^m = b^m equivale a que m vezes a diferença dos argumentos seja um múltiplo inteiro de 2π.