Sobre o tema
Polinômios cúbicos com raízes em progressão geométrica são um tema clássico em álgebra, frequentemente explorado em vestibulares como o ITA. A condição de que as raízes estejam em PG permite estabelecer relações entre os coeficientes e a razão da progressão, simplificando a determinação de parâmetros. Neste problema, dado o polinômio p(x) = x³ + 3x² - 6x + k, busca-se o valor real de k para que suas três raízes formem uma PG. A resolução envolve aplicar as relações de Girard e a definição de progressão geométrica, levando a um sistema de equações que revela k = -8. Compreender esse processo é essencial para dominar problemas de polinômios com restrições entre raízes.
Tópicos relacionados
- Relações de Girard em polinômios cúbicos
- Progressão geométrica de raízes
- Resolução de sistemas com polinômios e PG
- Cálculo de parâmetros em polinômios
- Propriedades de raízes de equações cúbicas
Enunciado
O valor de k R de modo que as ra�zes do polin�mio p(x) = x3 + 3x2 - 6x + k
estejam em progress�o geom�trica �:
A ( ) -18. B ( ) -16. C ( ) -8. D ( ) -2. E ( ) -1.
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Perguntas frequentes
O que são as Relações de Girard?
As Relações de Girard (ou fórmulas de Vieta) conectam os coeficientes de um polinômio com somas e produtos de suas raízes. Para um cúbico x³ + ax² + bx + c, as três raízes r1, r2, r3 satisfazem: r1+r2+r3 = -a; r1r2+r1r3+r2r3 = b; r1r2r3 = -c.
Como as raízes em PG simplificam um polinômio cúbico?
Se as raízes r1, r2, r3 estão em PG, podemos escrevê-las como (α/q, α, αq) ou similar. Isso reduz o número de incógnitas e permite aplicar as Relações de Girard de forma mais direta, pois as expressões em α e q se tornam mais simples.
Por que k = -8 é a única resposta possível?
Ao substituir as raízes em PG (α/q, α, αq) nas relações de Girard, obtém-se α = -1 e q = 2. O produto das raízes é -k, que resulta em -8. Assim, k = -8 satisfaz a condição. Outros valores não tornariam as raízes reais ou em PG.