Ano 2023#matematica#geometria#triangulo-retangulo#solido-de-revolucao#volume#perimetro

Sobre o tema

Uma questão clássica de geometria espacial envolve a rotação de um triângulo retângulo em torno de sua hipotenusa, gerando um sólido composto por dois cones unidos pela base. O volume desse sólido depende diretamente da altura relativa à hipotenusa (distância do vértice do ângulo reto à hipotenusa). Utilizando relações métricas no triângulo retângulo, é possível relacionar os catetos, a hipotenusa e essa altura. Dado o volume do sólido e o comprimento da hipotenusa, determina-se a altura, e então os catetos, permitindo calcular o perímetro do triângulo. Este tipo de problema combina conceitos de geometria plana e espacial, sendo frequente em vestibulares como o ITA.

Tópicos relacionados

  • Sólidos de revolução
  • Volume de cone
  • Relações métricas no triângulo retângulo
  • Teorema de Pitágoras
  • Perímetro de triângulo retângulo

Enunciado

A medida da hipotenusa de um triangulo retangulo e igual a 10 cm. O volume do solido gerado pela rotacao deste triangulo em torno de um eixo que contem a hipotenusa e $30\pi$ cm$^3$. O perimetro desse triangulo e, em cm, igual a

Alternativas

  • A)

    $10 + 4\sqrt{7}$.

  • B)

    $10 + 5\sqrt{7}$.

  • C)

    $10 + 2\sqrt{10}$.

  • D)

    $10 + 3\sqrt{10}$.

  • E)

    $10 + 4\sqrt{10}$.

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Perguntas frequentes

Como calcular o volume do sólido gerado pela rotação de um triângulo retângulo em torno da hipotenusa?

O sólido é composto por dois cones de mesma base. A base é o círculo gerado pela altura relativa à hipotenusa, e as alturas dos cones são as projeções dos catetos sobre a hipotenusa. O volume total é a soma dos volumes dos dois cones, dado por (1/3)π·h²·(m+n), onde h é a altura e m e n são as projeções.

O que são as relações métricas no triângulo retângulo?

São relações entre os catetos, a hipotenusa, a altura relativa à hipotenusa e as projeções dos catetos. Por exemplo: a altura ao quadrado é igual ao produto das projeções (h² = m·n), e cada cateto ao quadrado é igual ao produto da hipotenusa pela sua projeção (a² = m·hip, b² = n·hip).

Por que a altura relativa à hipotenusa é importante nesse problema?

Ela determina o raio da base dos cones gerados pela rotação. Conhecendo o volume e a hipotenusa, podemos encontrar essa altura e, em seguida, as projeções, que levam aos valores dos catetos.

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