Ano 2023#matematica#geometria#triangulo-retangulo#otimizacao#paralelas

Sobre o tema

Em problemas de geometria que envolvem triângulos retângulos e otimização, é comum utilizar coordenadas cartesianas para expressar distâncias em função de um parâmetro. Nesta questão do ITA, um triângulo retângulo com ângulo de 30° é dado, e a partir de um ponto variável na hipotenusa, traçam-se paralelas aos catetos, formando um segmento cujo comprimento deve ser minimizado. A abordagem analítica permite reduzir o problema a uma função quadrática, cujo mínimo é encontrado pelo vértice da parábola. Esse tipo de raciocínio é recorrente em provas de vestibulares, combinando conceitos de geometria plana e cálculo diferencial básico.

Tópicos relacionados

  • Geometria analítica no plano
  • Otimização de distâncias
  • Triângulo retângulo com ângulos 30° e 60°
  • Paralelismo e distância entre pontos
  • Função quadrática e valor mínimo

Enunciado

Seja $ABC$ um triangulo retangulo tal que $\widehat{BAC} = 30°$. Considere $D$ um ponto na hipotenusa $AC$ e retas $r$ e $s$ passando por $D$, paralelas aos lados $AB$ e $BC$, respectivamente. Se $E = r \cap BC$, $F = s \cap AB$ e $m(BC) = 1$, o menor valor possivel para $m(EF)$ e

Alternativas

  • A)

    $\frac{2}{5}$.

  • B)

    $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

  • C)

    $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

  • D)

    $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

  • E)

    $\sqrt{3}$.

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Perguntas frequentes

Como calcular a distância entre dois pontos no plano cartesiano?

A distância entre dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) é dada pela fórmula d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²].

Qual é a relação entre os lados de um triângulo retângulo com ângulos 30° e 60°?

Em um triângulo retângulo com ângulos 30° e 60°, o cateto oposto ao ângulo de 30° mede metade da hipotenusa, e o cateto oposto ao ângulo de 60° mede (√3)/2 vezes a hipotenusa.

Como encontrar o valor mínimo de uma função quadrática?

O valor mínimo de uma função quadrática f(x) = ax² + bx + c (com a > 0) ocorre no vértice, onde x = -b/(2a), e o valor mínimo é f(-b/(2a)).

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