Ano 2022#geometria-espacial#poliedros

Sobre o tema

Esta questão do ITA 2022 aborda a geometria espacial de uma pirâmide regular inscrita em um cubo, cuja base é um hexágono formado pelos pontos médios de seis arestas do cubo. O problema exige o cálculo do raio da esfera circunscrita à pirâmide, envolvendo conceitos como coordenadas cartesianas, planos, distâncias e simetria. Resolver essa questão desenvolve habilidades em visualização espacial e aplicação de propriedades geométricas, sendo fundamental para vestibulandos que almejam aprovação em engenharia ou matemática no ITA. A solução utiliza um sistema de eixos para representar o cubo, identifica os pontos médios e a base hexagonal, e emprega a condição de equidistância para encontrar o centro da esfera circunscrita.

Tópicos relacionados

Geometria espacial no cubo
Pirâmide regular e sua base hexagonal
Pontos médios de arestas
Esfera circunscrita a pirâmide
Coordenadas cartesianas e distâncias

Enunciado

Seja P uma piramide regular cujo vertice V e um dos vertices de um cubo de lado l e cuja base e o hexagono formado pelos pontos medios das seis arestas do cubo que nao contem V nem o vertice oposto a V. O raio da esfera que circunscreve P e

Alternativas

A)
l*sqrt(2)/12.
B)
l*sqrt(3)/12.
C)
5l*sqrt(2)/12.
D)
5l*sqrt(3)/12.
E)
l*sqrt(3)/6.

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Perguntas frequentes

O que é uma esfera circunscrita a um poliedro?

É a esfera que passa por todos os vértices do poliedro. No caso de uma pirâmide, o centro da esfera está no eixo que passa pelo vértice e pelo centro da base.

Como identificar os pontos médios das arestas de um cubo?

Os pontos médios são obtidos calculando a média aritmética das coordenadas dos dois vértices que definem a aresta. Para um cubo de lado l, cada coordenada do ponto médio é a média das coordenadas correspondentes.

Qual a importância da simetria na resolução de problemas de geometria espacial?

A simetria simplifica cálculos, pois permite assumir que o centro da esfera circunscrita está sobre o eixo de simetria da pirâmide, reduzindo o problema a uma equação de distâncias.