Ano 2022#algebra-linear#matrizes

Sobre o tema

No estudo de álgebra linear, propriedades de matrizes como comutatividade, produto nulo e relações entre transposta e potências são fundamentais. Essas propriedades não são triviais: a multiplicação de matrizes não é comutativa, e o produto nulo não implica comutação. Além disso, condições envolvendo transposta e determinante podem levar a conclusões que dependem da dimensão da matriz. Esta questão aborda essas sutilezas, sendo comum em concursos e vestibulares como o ITA. Compreender contraexemplos é essencial para evitar generalizações incorretas.

Tópicos relacionados

  • Produto de matrizes e comutatividade
  • Matrizes nilpotentes e contraexemplos
  • Determinante e matriz inversa
  • Matriz transposta e simetria
  • Condições algébricas em matrizes

Enunciado

Seja n >= 2 e A, B em Mn(R). Considere as seguintes afirmacoes:
I. Se AB = BA entao ou A ou B nao e inversivel.
II. Se AB = 0 entao BA = 0.
III. Se A^T = -A^2 e A e inversivel entao det(A) = -1.
E (sao) verdadeira(s):

Alternativas

  • A)

    apenas I.

  • B)

    apenas II.

  • C)

    apenas III.

  • D)

    apenas I e III.

  • E)

    Nenhuma das afirmacoes.

0.0 (0 avaliacoes)

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Perguntas frequentes

Se duas matrizes comutam, então uma delas não é inversível?

Não. Por exemplo, a matriz identidade comuta com qualquer matriz e é inversível.

Se AB = 0, então BA também é zero?

Não. Um contraexemplo clássico é A = [[0,1],[0,0]] e B = [[1,0],[0,0]], onde AB = 0 mas BA ≠ 0.

Se A^T = -A^2 e A é inversível, então det(A) = -1?

Não. Tomando determinante, obtém-se det(A) = (-1)^n, que depende da dimensão n. Para n par, det(A)=1; para n ímpar, det(A)=-1.

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