Ano 2022#matematica#trigonometria#funcoes-inversas#arccos#arcsen#equacao-trigonometrica#fase2#discursiva

Sobre o tema

As funções arco cosseno (arccos) e arco seno (arcsen) são inversas das funções trigonométricas cosseno e seno, respectivamente, restritas a intervalos específicos para garantir bijeção. O domínio de arccos é [-1, 1] e sua imagem é [0, π]; já o domínio de arcsen é [-1, 1] e sua imagem é [−π/2, π/2]. Uma identidade fundamental é que, para todo y em [-1, 1], vale arccos(y) + arcsen(y) = π/2. Essa relação é frequentemente usada para simplificar equações envolvendo essas funções, como na questão apresentada, que exige determinar os valores de arccos(x) a partir de uma equação composta.

Tópicos relacionados

  • Domínio e imagem de arccos e arcsen
  • Identidade arccos(y) + arcsen(y) = π/2
  • Substituição em equações trigonométricas inversas
  • Condições para composição de funções inversas
  • Resolução de equações com arccos e arcsen

Enunciado

Considere $\arccos : [-1, 1] \to [0, \pi]$ e $\arcsen : [-1, 1] \to [-\pi/2, \pi/2]$. Determine todos os valores de $\arccos(x)$ dado que $x$ satisfaz
$$\arccos(x^4) + \arcsen\!\left(x^2 - \tfrac{1}{4}\right) = \frac{\pi}{2}.$$

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Perguntas frequentes

Qual é o domínio da função arccos?

O domínio de arccos é o intervalo [-1, 1], pois apenas esses valores de entrada correspondem a ângulos no intervalo [0, π].

Como a identidade arccos(y) + arcsen(y) = π/2 pode ser utilizada?

Essa identidade permite simplificar equações onde aparecem arccos e arcsen de um mesmo argumento, transformando a equação em uma relação mais simples.

Por que o intervalo da imagem de arcsen é [−π/2, π/2]?

Para que a função seno seja invertível, restringe-se seu domínio ao intervalo [−π/2, π/2], onde é bijetora, então a inversa arcsen tem essa imagem.

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