Ano 2021#matematica#trigonometria#identidades-trigonometricas#seno#cosseno#ita-fase2#fase2#discursiva

Sobre o tema

Esta questão do ITA envolve identidades trigonométricas e a manipulação de somas de senos e cossenos. Dadas as somas dos senos e cossenos de três ângulos e a soma dos ângulos, pede-se a soma dos cossenos dos ângulos duplos. Para resolver, é comum utilizar transformações de soma em produto (fórmulas de prostaférese) ou representar os ângulos como complexos. O problema testa a habilidade de relacionar funções trigonométricas de ângulos múltiplos com as somas originais, exigindo domínio de identidades como cos(2θ)=1−2sen²θ ou cos(2θ)=2cos²θ−1, e o uso de sistemas de equações. É um exemplo clássico de aplicação de trigonometria em vestibulares militares.

Tópicos relacionados

Fórmulas de prostaférese (soma em produto)
Relações entre seno e cosseno de ângulos
Identidades de arco duplo
Sistemas de equações trigonométricas
Trigonometria no ITA

Enunciado

Sejam $\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}$ tais que $\alpha + \beta + \gamma = -\dfrac{3\pi}{2}$, $\operatorname{sen}\alpha + \operatorname{sen}\beta + \operatorname{sen}\gamma = 1$ e $\cos\alpha + \cos\beta + \cos\gamma = -1$. Determine o valor de $\cos 2\alpha + \cos 2\beta + \cos 2\gamma$.

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Perguntas frequentes

Como resolver problemas que envolvem soma de senos e cossenos com soma de ângulos conhecida?

Usa-se transformações de soma em produto para simplificar as expressões. Por exemplo, sen α + sen β pode ser escrito como 2 sen((α+β)/2) cos((α-β)/2). Depois, relaciona-se com a soma dos ângulos para eliminar variáveis.

Qual a importância das identidades de arco duplo em problemas trigonométricos?

Elas permitem expressar funções de 2θ em termos de funções de θ, facilitando a resolução de equações e sistemas que envolvem ângulos múltiplos.

É possível resolver esse tipo de questão usando números complexos?

Sim, representando seno e cosseno como partes real e imaginária de exponenciais complexas. A soma de exponenciais pode ser manipulada para encontrar relações entre os ângulos.