Ano 2020#fase-1#ita#ita-2020#matematica#matrizes#multipla-escolha#probabilidade

Sobre o tema

Matrizes nilpotentes são matrizes quadradas cuja potência se anula, ou seja, existe um inteiro positivo k tal que A^k = 0. No contexto de matrizes com entradas 0 ou 1, o estudo da nilpotência envolve analisar a estrutura de zeros e uns que força a matriz a ter potência nula. Para matrizes 3x3 com exatamente um elemento igual a 1 (M(3,1)), a condição L^2 = 0 significa que o elemento 1 não pode estar em posições que gerem produtos não nulos. Já para matrizes 4x4 com dois elementos iguais a 1 (M(4,2)), a condição R^2 = 0 impõe restrições mais complexas. A probabilidade de que ambas as condições sejam satisfeitas, ao escolher aleatoriamente L e R, é calculada combinando as probabilidades independentes para cada matriz.

Tópicos relacionados

  • Matrizes nilpotentes
  • Probabilidade em espaços amostrais finitos
  • Matrizes binárias e potências
  • Combinações e contagem de matrizes

Enunciado

Considere o conjunto M (n, k) de todas as matrizes quadradas de ordem n×n, com exatamente

k elementos iguais a 1, e os demais iguais a 0 (zero). Escolhendo aleatoriamente matrizes L M (3, 1) e
R M (4, 2), a probabilidade de que L2 = 0 e R2 = 0 é igual a

1 1 4 13 29

Alternativas

  • A)

    ·

  • B)

    ·

  • C)

    ·

  • D)

    ·

  • E)

    · 3 5 15 30 30 18 QUÍMICA Constantes Constante de Avogadro (NA) = 6,02 x 1023 mol-1 9,65 x 104 C mol-1 = 9,65 x 104 A s mol-1 = 9,65 x 104 J V-1 mol-1 Constante de Faraday (F) = 22,4 L (CNTP) Volume molar de gás ideal = 1,60 x 10-19 C 8,21 x 10-2 atm L K-1 mol-1 = 8,31 J K-1 mol-1 = 1,98 cal K-1 mol-1 Carga elementar = 9,81 m s-2 6,63 x 10-34 m2 kg s-1 Constante dos gases (R) = 3,0 x 108 m s-1 Constante gravitacional (g) = 2,72 Constante de Planck (h) = Velocidade da luz no vácuo = Número de Euler (e) = Definições Pressão:1 atm = 760 mmHg = 1,01325 x 105 N m-2 = 1,01325 bar Energia:1 J = 1 N m = 1 kg m2 s-2 = 6,24 x 1018 eV Condições normais de temperatura e pressão (CNTP): 0° C e 760 mmHg Condições ambientes: 25° C e 1 atm Condições padrão:1 bar; concentração das soluções = 1 mol L-1 (rigorosamente: atividade unitária das espécies); sólido com estrutura cristalina mais estável nas condições de pressão e temperatura em questão. (s) = sólido. () = líquido. (g) = gás. (aq) = aquoso. (conc) = concentrado. (ua) = unidades arbitrárias. u.m.a. = unidade de massa atômica. [X] = concentração da espécie química X em mol L-1 ln X = 2,3 log X Massas Molares Elemento Número Massa Molar Elemento Número Massa Molar Químico Atômico (g mol-1) Químico Atômico (g mol-1) H 1 1,01 Cl 17 35,45 C 6 12,01 K 19 39,10 N 7 14,01 Cu 29 63,55 O 8 16,00 Br 35 79,90 Na 11 23,00 Ag 47 107,87 P 15 30,97 I 53 126,90 S 16 32,

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Perguntas frequentes

O que é uma matriz nilpotente?

Uma matriz quadrada A é nilpotente se existe um inteiro positivo k tal que A^k = 0 (matriz nula). O menor k é chamado de índice de nilpotência.

Como verificar se uma matriz 3x3 com um único 1 é nilpotente de índice 2?

Calcule L^2. Para L^2 = 0, o elemento 1 não pode estar em posições que gerem produtos não nulos, como na diagonal principal ou em posições que permitam multiplicação por outro 1 (inexistente). Na prática, se o 1 está fora da diagonal principal, L^2 = 0.

Qual a probabilidade de que uma matriz 4x4 com dois 1's escolhida aleatoriamente tenha quadrado nulo?

É a razão entre o número de matrizes com R^2 = 0 e o total de matrizes com exatamente dois 1's. O total é C(16,2) = 120. O número de matrizes com R^2 = 0 depende de restrições como: os dois 1's não podem estar na mesma linha ou coluna, nem em posições que gerem produto não nulo.

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