Ano 2020#fase-1#ita#ita-2020#matematica#multipla-escolha#polinomios

Sobre o tema

Este problema aborda polinômios cúbicos com coeficientes reais e uma condição geométrica sobre suas raízes complexas. A relação entre as partes real e imaginária das raízes impõe restrições sobre os parâmetros m e n, permitindo determinar a soma dos quadrados das raízes. É um tópico clássico em álgebra avançada, combinando teoria de polinômios, números complexos e sistemas de equações. A resolução envolve substituir a raiz real e usar a condição para raízes complexas conjugadas, revelando que n deve ser zero e m = 3, resultando na soma dos quadrados igual a 7.

Tópicos relacionados

  • Polinômios cúbicos e relações de Girard
  • Números complexos e raízes conjugadas
  • Condições sobre partes real e imaginária
  • Soma dos quadrados das raízes
  • Parâmetros reais em polinômios

Enunciado

Considere o polinômio p(x) = x3 - mx2 + x + 5 + n, sendo m, n números reais fixados. Sabe-se
que toda raiz z = a + bi, com a, b R, da equação p(z) = 0 satisfaz a igualdade a = mb2 + nb - 1. Então, a
soma dos quadrados das raízes de p(z) = 0 é igual a

Alternativas

  • A)

    6.

  • B)

    7.

  • C)

    8.

  • D)

    9.

  • E)

    10.

0.0 (0 avaliacoes)

Avaliar: +1 XP. Favoritar: salva pra revisar. Comentar: +5 XP + 1 credito IA.

Comentarios (0)

Login obrigatorio

Carregando comentarios...

Perguntar pra IA

Perguntas frequentes

O que são as relações de Girard para polinômios cúbicos?

Para um polinômio cúbico x³ + ax² + bx + c, as relações de Girard (ou Vieta) afirmam que a soma das raízes é -a, a soma dos produtos dois a dois é b, e o produto é -c.

Por que raízes complexas de polinômios com coeficientes reais aparecem em pares conjugados?

Isso ocorre porque o conjugado de uma raiz também é raiz, já que o polinômio tem coeficientes reais. Assim, as raízes não reais vêm em pares da forma a ± bi.

Como calcular a soma dos quadrados das raízes a partir das relações de Girard?

A soma dos quadrados é (soma das raízes)² - 2×(soma dos produtos dois a dois). Portanto, se S1 e S2 são as respectivas somas, então S_quadrados = S1² - 2×S2.

Questões relacionadas