Ano 2020#fase-1#ita#ita-2020#matematica#multipla-escolha#progressoes

Sobre o tema

Progressões geométricas (PG) e relações pitagóricas frequentemente se combinam em problemas de matemática que exigem equações algébricas sofisticadas. Nesta questão do ITA, dados três números reais a, b, c formando uma PG de razão k e satisfazendo a² + b² = c², busca-se os possíveis valores de k. A condição leva a uma equação biquadrada k⁴ - k² - 1 = 0, cujas soluções reais em k estão associadas ao número de ouro φ = (1+√5)/2. O problema ilustra a interseção entre sequências e teoremas clássicos, sendo comum em vestibulares militares e de alto nível.

Tópicos relacionados

  • Progressão geométrica e razão k
  • Equação biquadrada e substituição
  • Número de ouro φ
  • Produto e soma das raízes
  • Condição pitagórica em PG

Enunciado

Sejam a, b e c números reais, a = 0, tais que a2 + b2 = c2. Se a, b e c formam, nessa ordem,

uma progressão geométrica de razão k, então o produto P e a soma S de todos os possíveis valores para k

são iguais a


(1 + 5)2

Alternativas

  • A)

    P = 1 e S = 0.

  • B)

    P = -1 e S = 1. -(1 + 5)

  • C)

    P = -1 e S= -1.

  • D)

    P= e S = 0.

  • E)

    P= e S = 0.

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Perguntas frequentes

O que é uma progressão geométrica (PG)?

É uma sequência numérica onde cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por uma constante chamada razão (k). Exemplo: a, ak, ak², ak³, ...

Como resolver uma equação biquadrada?

Equações biquadradas (ax⁴ + bx² + c = 0) podem ser resolvidas substituindo x² por y, transformando-a em uma equação quadrática ay² + by + c = 0.

O que é o número de ouro φ?

φ = (1+√5)/2 ≈ 1,618. É a raiz positiva da equação x² = x + 1 e aparece em diversas áreas da matemática, arte e natureza.

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