Ano 2020#matematica#numeros-complexos#plano-complexo#argand-gauss#raizes-polinomio#hexagono#fase2#discursiva

Sobre o tema

O plano de Argand-Gauss representa números complexos como pontos no plano, onde o eixo horizontal é a parte real e o vertical a imaginária. Polinômios como p(x) = (x - √3)⁶ + 64 possuem raízes complexas que formam polígonos regulares quando as raízes são igualmente espaçadas em um círculo. Neste problema, as raízes formam um hexágono regular centrado em √3. Multiplicar todos os pontos por um número complexo z (transformação linear) gira, escala e translada o hexágono, resultando em um novo hexágono com vértices dados. O objetivo é encontrar z conhecendo três vértices consecutivos do hexágono transformado.

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Raízes complexas de polinômios
Hexágono regular no plano complexo
Transformações lineares com números complexos
Multiplicação de números complexos como rotação e escala
Vértices consecutivos de um polígono regular

Enunciado

Seja H o hexágono no plano de Argand-Gauss cujos vértices são as raízes do polinômio p(x) = (x - √3)⁶ + 64. Determine z ∈ C sabendo que o conjunto M = {zx ∈ C : x ∈ H} é o hexágono que possui v₁ = -1 + √3 i, v₂ = 1 - √3 i e v₃ = 5 - √3 i como três vértices consecutivos.

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Perguntas frequentes

Como encontrar as raízes de (x - a)^n + b?

Escreva (x - a)^n = -b e use a fórmula de De Moivre: as raízes são a + b^(1/n) * exp(i(π + 2kπ)/n) para k = 0,1,...,n-1.

O que significa multiplicar um número complexo por outro geometricamente?

Multiplicar z por w resulta em um ponto cuja distância da origem é o produto das distâncias e cujo ângulo é a soma dos ângulos: rotação e dilatação.

Como verificar se três pontos são vértices consecutivos de um hexágono regular?

Em um hexágono regular, o vetor entre vértices consecutivos tem módulo constante e ângulo de 60° (π/3 rad). A diferença v2 - v1 deve ser igual a (v3 - v2) multiplicado por uma rotação de -60° ou similar.