Ano 2024#matematica#trigonometria#equacoes

Sobre o tema

A equação trigonométrica que envolve seno, cosseno e seno do dobro do ângulo é um tema clássico no estudo de funções periódicas. Resolver equações como cos³(x) + sen³(x) + 1/(sen(2x)/2) = 1 exige o domínio de identidades trigonométricas, fatoração e análise de domínio. A expressão 1/(sen(2x)/2) equivale a 2/sen(2x), o que impõe restrições: sen(2x) ≠ 0. A combinação de potências cúbicas com frações torna necessário simplificar a equação para encontrar soluções no intervalo [0, 2π). Esse tipo de problema é comum em vestibulares militares, como o IME, e testa a capacidade de manipulação algébrica e conhecimento das funções trigonométricas.

Tópicos relacionados

  • Identidades trigonométricas fundamentais
  • Fatoração de soma de cubos
  • Domínio de funções trigonométricas
  • Equações trigonométricas no intervalo [0,2π)
  • Seno do dobro do ângulo

Enunciado

O numero de solucoes da equacao cos^3(x) + sen^3(x) + 1/(sen(2x)/2) = 1 no intervalo [0, 2*pi) e:

Alternativas

  • A)

    0

  • B)

    1

  • C)

    2

  • D)

    3

  • E)

    4

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Perguntas frequentes

Como fatorar cos³(x) + sen³(x)?

Usa-se a identidade a³ + b³ = (a+b)(a² - ab + b²). Assim, cos³(x) + sen³(x) = (cos x + sen x)(cos² x - cos x sen x + sen² x) = (cos x + sen x)(1 - cos x sen x).

Qual a condição de existência para 1/(sen(2x)/2)?

A expressão equivale a 2/sen(2x). Para que seja definida, sen(2x) ≠ 0, ou seja, 2x ≠ kπ, x ≠ kπ/2, com k inteiro. No intervalo [0,2π), excluem-se x = 0, π/2, π, 3π/2.

Como resolver equações que envolvem sen(2x)?

Utiliza-se a identidade sen(2x) = 2 sen x cos x. Muitas vezes é útil substituir para simplificar a equação, mas é preciso verificar se há restrições de domínio.

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