Ano 2024#matematica#funcoes-exponenciais#logaritmos

Sobre o tema

A questão do IME 2024 aborda funções exponenciais e logaritmos, exigindo a interpretação de um gráfico de dispersão linearizado. O estudante precisa converter a relação exponencial y = a·b^(x-10) em uma forma linear, tomando logaritmo de ambos os lados, resultando em log(y) = log(a) + (x-10)·log(b). Essa expressão equivale a uma reta no plano cartesiano (x, log(y)), cujo coeficiente angular fornece log(b) e o intercepto fornece log(a) - 10·log(b). Com os valores extraídos do gráfico, calculam-se a e b. O problema é clássico em concursos militares e testa a habilidade de modelagem e transformação logarítmica.

Tópicos relacionados

  • Função exponencial e forma linearizada
  • Uso de logaritmos para linearização de curvas
  • Interpretação de gráfico log-linear
  • Relação entre coeficientes e parâmetros da função
  • Problemas de modelagem em concursos militares

Enunciado

Seja y = a * b^(x-10), a e b reais, onde os valores de x e log(y) sao relacionados pelo grafico exibido na prova. Entao o valor de a + b e: [O grafico exibido no PDF mostra uma reta no plano (x, log(y)), da qual se extraem inclinacao e intercepto para determinar a e b.]

Alternativas

  • A)

    20

  • B)

    30

  • C)

    40

  • D)

    50

  • E)

    60

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Perguntas frequentes

Por que se usa logaritmo para linearizar uma função exponencial?

Aplicar logaritmo em ambos os lados de uma equação exponencial transforma a relação em linear, pois log(a·b^x) = log(a) + x·log(b). Isso permite extrair os parâmetros a e b a partir de um gráfico de pontos.

O que representa o coeficiente angular no gráfico de (x, log(y))?

O coeficiente angular da reta obtida é igual a log(b). Portanto, a base b é calculada como 10^(coeficiente angular), se o logaritmo for na base 10.

Como determinar o valor de a a partir do gráfico linearizado?

O intercepto da reta no eixo log(y) quando x=0 é igual a log(a) - 10·log(b). Conhecendo log(b), isola-se log(a) e calcula-se a como 10^(log(a)).

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