Ano 2023#numeros-complexos#determinante#matrizes

Sobre o tema

Números complexos e determinantes são tópicos fundamentais em matemática, frequentemente explorados em vestibulares militares como o IME. A forma cis (cosseno + i seno) representa um número complexo no plano de Argand-Gauss, facilitando operações como multiplicação e divisão. Determinantes de matrizes, por sua vez, são ferramentas algébricas que indicam, entre outras propriedades, se um sistema linear tem solução única. Nesta questão, combinam-se esses conceitos ao igualar uma expressão envolvendo cis de ângulos a um determinante 3x3, exigindo domínio de trigonometria, aritmética complexa e cálculo de determinantes. O resultado é um número real alfa, cujo valor deve ser identificado entre as opções.

Tópicos relacionados

  • Forma cis de números complexos
  • Cálculo de determinantes 3x3
  • Ângulos notáveis em trigonometria
  • Propriedades de cis(θ) e cis(-θ)
  • Identidades trigonométricas fundamentais

Enunciado

Seja i tal que i^2 = -1. O valor do numero real alfa que satisfaz a equacao cis(7pi/6) - 2*cis(-7pi/6) = det(matriz 3x3 com sqrt(3), i, alfa) e:

Alternativas

  • A)

    sqrt(3)

  • B)

    sqrt(3)/2

  • C)

    sqrt(3)/4

  • D)

    sqrt(3)/8

  • E)

    sqrt(3)/16

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Perguntas frequentes

O que é a forma cis de um número complexo?

A forma cis(θ) é uma abreviação para cos(θ) + i sen(θ), representando um número complexo no círculo unitário com módulo 1 e argumento θ.

Como calcular o determinante de uma matriz 3x3?

O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado pela regra de Sarrus: repete-se as duas primeiras colunas, soma-se os produtos das diagonais principais e subtrai-se os produtos das diagonais secundárias.

Qual a relação entre cis(θ) e cis(-θ)?

cis(-θ) = cos(θ) - i sen(θ) = conjugado de cis(θ). Portanto, cis(θ) - 2 cis(-θ) = (cosθ + i senθ) - 2(cosθ - i senθ) = -cosθ + 3i senθ.

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