Ano 2022#funcoes#desigualdades#sequencias

Sobre o tema

A questão aborda propriedades de funções reais com desigualdades funcionais, um tópico clássico em análise matemática. As condições f(x+7) >= f(x)+7 e f(x+1) <= f(x)+1 impõem restrições que, combinadas, sugerem um comportamento linear ou quase linear da função. Este tipo de problema é comum em olimpíadas e vestibulares militares como o IME, exigindo raciocínio dedutivo para determinar valores específicos. A função g(x) é definida a partir de f, e o objetivo é calcular g(2023), testando a capacidade de manipular as desigualdades dadas para obter igualdades.

Tópicos relacionados

  • Desigualdades funcionais
  • Funções lineares e subaditividade
  • Sequências e recorrências
  • Raciocínio dedutivo em problemas de função

Enunciado

Seja f(x) uma funcao definida em R tal que f(1) = 1. Para todo x em R valem as seguintes desigualdades: f(x+7) >= f(x)+7 e f(x+1) <= f(x)+1. Se g(x) = f(x-1) - x + 2, o valor de g(2023) e

Alternativas

  • A)

    0

  • B)

    1

  • C)

    2

  • D)

    2022

  • E)

    2023

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Perguntas frequentes

O que são desigualdades funcionais?

Desigualdades funcionais são relações do tipo f(x) ≥ g(x) ou f(x) ≤ g(x) que envolvem uma função desconhecida. Elas são usadas para restringir o comportamento da função, muitas vezes forçando-a a ser linear ou constante.

Como as condições f(x+7) ≥ f(x)+7 e f(x+1) ≤ f(x)+1 podem se combinar?

Essas condições sugerem que f(x+1) está próximo de f(x)+1, e f(x+7) está próximo de f(x)+7. Aplicando repetidamente, pode-se provar que f(x+k) = f(x)+k para todo inteiro k, implicando que f é linear com inclinação 1.

Qual a importância da função g(x) definida a partir de f?

A função g(x) = f(x-1) - x + 2 simplifica a análise ao traduzir a condição de linearidade em um valor constante. Nesse caso, g(x) acaba sendo constante e igual a 1, facilitando o cálculo de g(2023).

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