Ano 2020#geometria espacial#paralelepipedo#volume#produto vetorial#trigonometria espacial#fase2#discursiva

Sobre o tema

O volume de um paralelepípedo oblíquo pode ser calculado pelo produto misto dos vetores que representam suas arestas, ou geometricamente como área da base vezes a altura. Neste problema do IME, todas as arestas têm o mesmo comprimento a, mas as faces são losangos. O ângulo entre dois planos adjacentes (ABFE e ABCD) é 60°, e o ângulo no vértice E da face ABFE é 120°. A partir dessas informações e do ângulo θ no vértice E da base superior, determina-se o volume. Trata-se de uma aplicação de geometria espacial, envolvendo trigonometria e produto vetorial.

Tópicos relacionados

Volume de paralelepípedo oblíquo
Produto misto de vetores
Ângulo entre planos
Trigonometria espacial
Propriedades de losangos

Enunciado

Um paralelepipedo obliquo $ABCD - EFGH$ possui todas as arestas com comprimento $a$. O plano que contem $ABFE$ forma um angulo de $60^\circ$ com o plano que contem $ABCD$. O angulo do vertice $E$ da face $ABFE$ e $120^\circ$. Se $\theta$ for o angulo do vertice $E$ do paralelogramo contido na base superior $EFGH$ do paralelepipedo, determine o volume do paralelepipedo em funcao da aresta $a$ e do angulo $\theta$.

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Perguntas frequentes

Como calcular o volume de um paralelepípedo oblíquo?

O volume é dado pelo módulo do produto misto dos três vetores aresta, ou geometricamente: área da base vezes a altura perpendicular entre as bases.

O que significa ângulo entre dois planos na geometria espacial?

É o ângulo formado por duas retas perpendiculares à interseção dos planos, traçadas em cada plano. Esse ângulo é igual ao ângulo entre suas normais.

Qual a relação entre o ângulo de uma face (losango) e o ângulo entre arestas?

Em um losango, os ângulos opostos são iguais e os ângulos adjacentes são suplementares. O ângulo no vértice é justamente o ângulo entre as arestas que partem desse vértice.