Ano 2020#algebra linear#determinante#matriz 4x4#fase2#discursiva

Sobre o tema

O determinante de uma matriz é uma função escalar que fornece informações importantes sobre o sistema linear associado, como invertibilidade e volume. Para matrizes 4x4, o cálculo pode ser feito por expansão de Laplace, reduzindo a matriz por operações elementares ou utilizando a regra de Sarrus (apenas para 3x3). Nesta questão, o determinante de uma matriz 4x4 contendo um parâmetro real k deve ser igual a 24. Resolver essa equação envolve manipular a matriz para simplificar o determinante, aplicando propriedades como a linearidade em relação a linhas ou colunas, e então isolar k. O estudo de determinantes com parâmetros é comum em concursos militares e exige domínio das técnicas de cálculo e das propriedades.

Tópicos relacionados

  • Cálculo de determinante de matriz 4x4
  • Expansão de Laplace
  • Propriedades dos determinantes
  • Parâmetros em matrizes
  • Operações elementares e determinantes

Enunciado

Calcule o(s) valor(es) de k real(is) para que o determinante da matriz abaixo seja igual a 24.

\[
\begin{bmatrix}
1 & 3 & 1 & 2 \\
1 & k & 0 & 2 \\
2 & 1 & 0 & 3 \\
4 & 1 & -1 & 3
\end{bmatrix}
\]

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Perguntas frequentes

Como calcular o determinante de uma matriz 4x4?

O determinante de uma matriz 4x4 pode ser calculado por expansão de Laplace ao longo de uma linha ou coluna, reduzindo-o a determinantes de matrizes 3x3. Também é possível usar operações elementares para triangularizar a matriz e então multiplicar os elementos da diagonal.

O que significa um determinante igual a zero?

Um determinante igual a zero indica que a matriz é singular, ou seja, não possui inversa. No contexto de sistemas lineares, isso significa que o sistema pode ter nenhuma ou infinitas soluções.

Como parâmetros em uma matriz afetam o determinante?

Parâmetros em uma matriz tornam o determinante uma função do parâmetro. Resolver a equação det(A) = valor constante permite encontrar os valores do parâmetro que satisfazem a condição, usualmente resultando em uma equação polinomial.

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