Ano 2022#mathematics

Sobre o tema

Polinômios cúbicos com raízes múltiplas são tema central em álgebra e análise matemática. Quando um polinômio de grau 3 possui uma raiz dupla, sua fatoração assume a forma (x-a)^2(x-b). A partir dessa estrutura, é possível relacionar coeficientes e raízes por meio das relações de Girard, que conectam soma e produto das raízes aos coeficientes. Compreender esse tipo de problema é essencial para provas de vestibulares e concursos, pois exige domínio de fatoração, sistemas lineares e manipulação algébrica. A questão envolve determinar o valor de m e a para que o polinômio dado tenha uma raiz dupla real, levando a um cálculo direto com substituição e resolução de equações.

Tópicos relacionados

  • Relações de Girard para polinômios
  • Fatoração de polinômios cúbicos
  • Raízes múltiplas e derivadas
  • Sistemas de equações algébricas

Enunciado

Suponha que o polinômio p(x) = x^3 +𝑚x -2, em que 𝑚 é
um número real, tenha uma raiz real dupla 𝑎 e uma raiz real
simples 𝑏. O valor da soma de 𝑚 com 𝑎 é:

Alternativas

  • A)

    0

  • B)

    -1

  • C)

    -2

  • D)

    -3

  • E)

    -4

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Perguntas frequentes

O que são raízes múltiplas de um polinômio?

Uma raiz múltipla é aquela que aparece mais de uma vez na fatoração do polinômio. Por exemplo, se (x-a)² divide o polinômio, então a é raiz dupla.

Como aplicar as relações de Girard em polinômios cúbicos?

Para um polinômio x³ + Ax² + Bx + C, a soma das raízes é -A, a soma dos produtos dois a dois é B e o produto é -C. Essas relações permitem encontrar relações entre as raízes.

Qual a condição para que um polinômio cúbico tenha raiz dupla?

A condição é que o polinômio e sua derivada tenham uma raiz comum. Isso implica que a raiz dupla satisfaz tanto p(x)=0 quanto p'(x)=0.

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