Sobre o tema
Em geometria plana, pontos equidistantes entre si e de um ponto central formam um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência. O problema aborda o cálculo da distância do centro (circuncentro) aos vértices desse triângulo. O triângulo equilátero possui propriedades notáveis: todos os lados iguais, todos os ângulos de 60°, e seu circuncentro coincide com o baricentro, ortocentro e incentro. A distância do circuncentro a cada vértice é o raio do círculo circunscrito, dado por R = lado / √3. Essa relação é fundamental em questões de distâncias e construções geométricas.
Tópicos relacionados
- Circuncentro do triângulo equilátero
- Cálculo do raio da circunferência circunscrita
- Propriedades do triângulo equilátero
- Geometria plana aplicada
Enunciado
A prefeitura de uma cidade planeja construir três postos de saúde. Esses postos devem ser construídos em locais equidistantes entre si e de forma que as distâncias desses três postos ao hospital dessa cidade sejam iguais. Foram conseguidos três locais para a construção dos postos de saúde que apresentam as características desejadas, e que distam 10 quilômetros entre si, conforme o esquema, no qual o ponto H representa o local onde está construído o hospital; os pontos P índice 1, P índice 2 e P índice 3, os postos de saúde; e esses quatro pontos estão em um mesmo plano.
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A distância, em quilômetro, entre o hospital e cada um dos postos de saúde, é um valor entre
Alternativas
- A)
2 e 3.
- B)
4 e 5.
- C)
5 e 6.
- D)
7 e 8.
- E)
8 e 9.
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Perguntas frequentes
O que é o circuncentro de um triângulo?
O circuncentro é o ponto equidistante dos três vértices de um triângulo, sendo o centro da circunferência circunscrita. Em um triângulo equilátero, ele coincide com o baricentro, ortocentro e incentro.
Como calcular a distância do circuncentro ao vértice de um triângulo equilátero?
Para um triângulo equilátero de lado a, o raio da circunferência circunscrita é R = a / √3. Isso vem da relação trigonométrica: R = a / (2 sen 60°) = a / (2 * √3/2) = a/√3.
Por que três postos equidistantes entre si e de um hospital formam um triângulo equilátero?
Se três pontos são equidistantes entre si, as distâncias entre eles são iguais, caracterizando um triângulo equilátero. A condição adicional de equidistância a um quarto ponto (hospital) significa que esse ponto é o circuncentro do triângulo.