Sobre o tema
A aplicação da trigonometria em problemas de engenharia e arquitetura é fundamental para otimizar estruturas. Nesta questão do ENEM 2023, o contexto envolve a instalação de cabos de aço para sustentar um mastro, exigindo o cálculo do comprimento mínimo dos cabos com base em diferentes alturas e ângulos. A resolução utiliza a relação seno em triângulos retângulos para expressar o comprimento do cabo como h/sen(α). Comparando as três opções, a que resulta no menor comprimento é identificada por meio de cálculos trigonométricos, abordando conceitos como razões trigonométricas, simplificação de radicais e tomada de decisão baseada em valores numéricos. O problema ilustra a importância do pensamento geométrico e analítico em situações práticas.
Tópicos relacionados
- Razões trigonométricas no triângulo retângulo
- Função seno e seu uso em problemas de altura
- Otimização de comprimentos com trigonometria
- Radicais e simplificação de expressões
- Aplicações da trigonometria na engenharia
Enunciado
O mastro de uma bandeira foi instalado perpendicularmente ao solo em uma região plana. Devido aos fortes ventos, três cabos de aço, de mesmo comprimento, serão instalados para dar sustentação ao mastro. Cada cabo de aço ficará perfeitamente esticado, com uma extremidade num ponto P do mastro, a uma altura h do solo, e a outra extremidade, num ponto no chão, como mostra a figura.
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Os cabos de aço formam um ângulo alfa com o plano do chão.
Por medida de segurança, há apenas três opções de instalação:
• opção 1: h = 11 metros e alfa = 30 graus
• opção 2: h = 12 metros e alfa = 45 graus
• opção 3: h = 18 metros e alfa = 60 graus.
A opção a ser escolhida é aquela em que a medida dos cabos seja a menor possível. Qual será a medida, em metro, de cada um dos cabos a serem instalados?
Alternativas
- A)
22 x sqrt(3)/3.
- B)
11 x sqrt(2).
- C)
12 x sqrt(2).
- D)
12 x sqrt(3).
- E)
22
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Perguntas frequentes
Como calcular o comprimento de um cabo inclinado em relação ao solo?
O comprimento do cabo é a hipotenusa de um triângulo retângulo, onde a altura do mastro é o cateto oposto ao ângulo com o solo. Usa-se a relação seno: sen(α) = altura/comprimento, então comprimento = altura/sen(α).
Por que o ângulo de 45 graus resulta em um comprimento menor que 30 ou 60 graus neste problema?
Para uma mesma altura, o seno é máximo em 90°, mas como a altura varia, o comprimento é h/sen(α). A opção com h=12 e α=45° dá 12/(√2/2)=12√2≈16,97m, menor que 22m (opção 1) e 12√3≈20,78m (opção 3).
Qual a importância de escolher o cabo mais curto possível na instalação?
Cabos mais curtos reduzem custos de material e facilitam a instalação, além de minimizar a interferência com o ambiente. Em projetos de engenharia, a otimização de recursos é crucial para eficiência e economia.