Sobre o tema
A coloração de mapas e figuras com restrições de cores vizinhas é um problema clássico de combinatória, frequentemente aplicado em situações como a pintura de logomarcas ou bandeiras. No contexto da Copa do Mundo de 2014, a logomarca oficial apresentava cinco mãos que se unem formando a taça Fifa, criando regiões adjacentes que não podem compartilhar a mesma cor. Utilizando as quatro cores da bandeira nacional (verde, amarelo, azul e branco), o problema se reduz a contar quantas colorações distintas são possíveis, respeitando a regra de que regiões vizinhas tenham cores diferentes. Esse tipo de questão explora o princípio fundamental da contagem, especialmente a aplicação do princípio multiplicativo em cadeias ou grafos. A resolução envolve identificar a estrutura de adjacências e determinar o número de opções para cada região, considerando as restrições impostas pelas regiões já coloridas.
Tópicos relacionados
- Princípio fundamental da contagem
- Problemas de coloração com restrições
- Aplicação do princípio multiplicativo
- Combinação de cores em logomarcas
Enunciado
O comitê organizador da Copa do Mundo 2014 criou a logomarca da Copa, composta de uma figura plana e o slogan “Juntos num só ritmo”, com mãos que se unem formando a taça Fifa. Considere que o comitê organizador resolvesse utilizar todas as cores da bandeira nacional (verde, amarelo, azul e branco) para colorir a logomarca, de forma que regiões vizinhas tenham cores diferentes.
De quantas maneiras diferentes o comitê organizador da Copa poderia pintar a logomarca com as cores citadas?
Alternativas
- A)
15
- B)
30
- C)
108
- D)
360
- E)
972
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Perguntas frequentes
Como identificar a estrutura de adjacências em um problema de coloração?
Observe cuidadosamente a figura para determinar quais regiões compartilham fronteiras. Em problemas de logomarcas, a estrutura pode ser linear, circular ou em árvore. A contagem das escolhas de cores depende da ordem em que as regiões são coloridas e das restrições impostas pelas regiões vizinhas.
Qual a diferença entre permutação e combinação em problemas de coloração?
Permutação considera a ordem dos elementos, enquanto combinação não. Em coloração, a ordem de aplicação das cores é importante, pois regiões diferentes recebem cores distintas em posições específicas. Geralmente, usa-se o princípio multiplicativo, que é um caso de permutação com repetição condicionada.
Por que o princípio multiplicativo é útil em problemas de coloração com restrições?
Ele permite calcular o número total de possibilidades multiplicando as opções para cada etapa, desde que as restrições sejam locais (apenas dependem das cores vizinhas). Em cadeias lineares, a primeira região tem todas as cores disponíveis, e as seguintes têm opções reduzidas pela cor da região anterior.