Sobre o tema
A trigonometria é uma ferramenta essencial para resolver problemas que envolvem distâncias e ângulos, como no cálculo da altura de um balão atmosférico. Neste contexto, a tangente de um ângulo em um triângulo retângulo relaciona o cateto oposto (altura) ao cateto adjacente (distância horizontal). Ângulos notáveis como 30° e 60° possuem valores exatos de tangente: tan30° = √3/3 e tan60° = √3, facilitando os cálculos. A questão exige aplicar esses conceitos para determinar a altura do balão a partir de duas observações, destacando a importância da precisão matemática em medições científicas.
Tópicos relacionados
- Tangente de ângulos notáveis (30°, 60°)
- Cálculo de altura com ângulo de elevação
- Razões trigonométricas no triângulo retângulo
- Aplicação de trigonometria em problemas reais
- Resolução de equações trigonométricas simples
Enunciado
Um balão atmosférico, lançado em Bauru (343 quilômetros a Noroeste de São Paulo), na noite do último domingo, caiu nesta segunda-feira em Cuiabá Paulista, na região de Presidente Prudente, assustando agricultores da região. O artefato faz parte do programa Projeto Hibiscus, desenvolvido por Brasil, França, Argentina, Inglaterra e Itália, para a medição do comportamento da camada de ozônio, e sua descida se deu após o cumprimento do tempo previsto de medição.
Disponível em: http://www.correiodobrasil.com.br. Acesso em: 02 maio 2010.
Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o balão. Uma estava a 1,8 km da posição vertical do balão e o avistou sob um ângulo de 60º; a outra estava a 5,5 km da posição vertical do balão, alinhada com a primeira, e no mesmo sentido, conforme se vê na figura, e o avistou sob um ângulo de 30º.
Qual a altura aproximada em que se encontrava o balão?
Alternativas
- A)
1,8 km
- B)
1,9 km
- C)
3,1 km
- D)
3,7 km
- E)
5,5 km
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Perguntas frequentes
Como calcular a altura de um objeto usando ângulos de elevação?
Utiliza-se a tangente do ângulo: altura = distância horizontal × tangente(ângulo). Por exemplo, a 1,8 km com ângulo de 60°, a altura é 1,8 × tan60° ≈ 3,1 km.
Qual a importância dos ângulos notáveis (30°, 45°, 60°) em trigonometria?
Possuem valores exatos de seno, cosseno e tangente, facilitando cálculos sem calculadora. Por exemplo, tan30° = √3/3, tan45° = 1, tan60° = √3.
Como verificar se duas medições de altura são consistentes?
Calcula-se a altura por ambas as observações; se os valores forem próximos, as medições são consistentes. Na questão, ambas dão aproximadamente 3,1 km.