Sobre o tema
A projeção ortogonal de um ponto sobre um eixo é um conceito fundamental em geometria analítica e trigonometria, frequentemente aplicado em problemas de movimento circular. Quando um ponto se desloca sobre uma circunferência, sua projeção sobre o eixo horizontal oscila, descrevendo um movimento harmônico simples. Este problema do ENEM 2009 explora a relação entre o arco percorrido e o deslocamento linear da projeção, exigindo a aplicação da função cosseno para modelar a posição ao longo do eixo x.
Tópicos relacionados
- Projeção ortogonal no plano cartesiano
- Movimento circular e arco percorrido
- Funções trigonométricas seno e cosseno
- Relação entre ângulo e arco em radianos
- Aplicações de trigonometria em geometria
Enunciado
Considere um ponto P em uma circunferência de raio r no plano cartesiano. Seja Q a projeção ortogonal de P sobre o eixo x, como mostra a figura, e suponha que o ponto P percorra, no sentido anti-horário, uma distância d ≤ r sobre a circunferência.
Então, o ponto Q percorrerá, no eixo x, uma distância dada por
Alternativas
- A)
R( 1 - sen d/r ).
- B)
R( 1 - cos d/r ).
- C)
R( 1 - tag d/r ).
- D)
Rsen (r/d).
- E)
Rcos (r/d).
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Perguntas frequentes
O que é projeção ortogonal de um ponto sobre um eixo?
É a coordenada do ponto obtida ao traçar uma perpendicular ao eixo; no caso do eixo x, é simplesmente a coordenada x do ponto.
Como calcular o deslocamento linear de uma projeção em movimento circular?
Se o ponto parte do ângulo 0 (posição (r,0)), o deslocamento da projeção no eixo x é r(1 - cos θ), onde θ = d/r é o ângulo percorrido em radianos.
Qual a importância da função cosseno nesse contexto?
O cosseno do ângulo dá a coordenada x da posição do ponto na circunferência; assim, a projeção varia entre r e -r conforme o ponto se move.